더 시터르 공간

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일반 상대성 이론미분기하학에서, 더 시터르 공간(de Sitter空間, 영어: de Sitter space)은 로런츠 다양체의 하나다. 양의 우주 상수를 가지는 아인슈타인 방정식진공 해이며, 암흑 에너지밖에 없는 진공을 나타낸다. n차원 더 시터르 공간의 기호는 dSn.

우리가 살고 있는 우주는 현재 대부분(69%) 암흑 에너지로 차 있다 (ΛCDM 모형). 따라서, 우리 우주는 더 시터르 공간으로 근사할 수 있다.

최근에는, 본래 특수 상대성 이론의 골자로서 민코프스키 공간이 이용된 것을, 이 더 시터르 공간을 새로이 이용해서 더 시터르 상대성이라는 형식을 세우는 것이 일각에서 고려되고 있다.

역사[편집]

1917년에 빌럼 더 시터르[1][2]툴리오 레비치비타[3] 가 독자적으로 발견하였다.

정의[편집]

n차원 더 시터르 공간n+1차원 민코프스키 공간부분공간으로 정의할 수 있다. n+1차원 민코프스키 공간 의 다음과 같은 직교좌표계를 생각하자.

더 시터르 공간은 다음 식을 만족하는 쌍곡면으로 표현되는 부분다양체이다.

여기서는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이며, 더 시터르 반지름(영어: de Sitter radius)이라고 한다. 더 시터르 공간의 계량 텐서는 고차원 민코프스키 공간에서 유도되는 계량 텐서(induced metric)이며, 이 계량이 로런츠 계량 부호수를 가지고 있다는 사실을 보일 수 있다. (만약 위의 정의에서 으로 대치하면 두 장의 쌍곡면을 얻는다. 이 경우 유도 계량은 양의 정부호이며, 각각의 쌍곡면들은 n차원 쌍곡면 공간을 이룬다.)

성질[편집]

기하학적 성질[편집]

더 시터르 공간은 동차공간

으로 나타낼 수 있다. 여기서 O(p,q)는 임의의 계량 부호수에 대한 직교군이다.

더 시터르 공간의 등거리변환군은 O(1,n) 로런츠 군이다. 그러므로 계랑은 n(n+1)/2 개의 독립적인 킬링 벡터를 가지며, 최대대칭공간(영어: maximally symmetric space)이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 더 시터르 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

리치 곡률이 계량에 비례하므로, 더 시터르 공간은 아인슈타인 다양체이다.

따라서, 더 시터르 공간은 다음과 같은 우주 상수 를 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다.

더 시터르 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.

4차원 더 시터르 공간의 경우 , 이다.

위상수학적 성질[편집]

n차원 더 시터르 공간은 위상동형이다. 따라서 2차원이 아닌 더 시터르 공간은 단일 연결 공간이다. (2차원 더 시터르 공간은 물론 기본군 를 가진다.)

펜로즈 그림[편집]

더 시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.

더 시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더 시터르 공간의 경우 위상학적으로 이므로, 정사각형 내부의 각 점은 에 대응한다. 정사각형의 좌변과 우변은 의 남극과 북극을 나타내므로, 좌변과 우변에서의 각 점은 실제 하나의 점에 대응한다. 정사각형의 윗변과 아랫변은 더 시터르 공간의 각각 무한한 미래와 과거를 나타내고, 더 시터르 공간의 실재하는 점에 대응하지 않는다.

좌표계[편집]

더 시터르 공간에는 다양한 좌표계들이 존재한다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

정적 좌표계[편집]

정적 좌표계(靜的座標系, 영어: static coordinate system)로서 을 다음과 같이 놓을 수 있다.

여기서 Rn−1 안에서의 표준 매장으로서의 (n−2)차원 구면을 나타낸다. 이들 좌표를 가지고, 더 시터르 계랑을 다음과 같이 기술할 수 있다.

여기서 사건 지평선이 존재한다. 이를 우주론적 지평선(宇宙論的地平線, 영어: cosmological horizon)이라고 하며, 지평선 안을 관측 가능한 우주(영어: observable universe)라고 한다.

FLRW 좌표계[편집]

더 시터르 공간은 FLRW 해의 한 종류이며, 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 엽층을 줄 수 있다.

n차원 FLRW 계량은

이며, 여기서

(n−1차원 초구 계량, 인 경우)
(n−1차원 유클리드 공간 계량, 인 경우)
(n−1차원 쌍곡공간 계량, 인 경우)

이다. 척도인자 는 다음과 같다.

()
()
()

열역학[편집]

더 시터르 공간은 (반 더 시터르 공간과 달리) 우주론적 지평선(cosmological horizon)을 가진다. 이에 따라, 더 시터르 공간은 블랙홀과 마찬가지로 유한한 온도와 엔트로피를 가지게 된다.

더 시터르 공간에서의 진공 상태는 번치-데이비스 진공(영어: Bunch–Davies vacuum)이라고 불리는 상태이며, 그 온도는

이다.[4][5][6] 또한, 더 시터르 공간의 지평선의 넓이

는 유한하다. (여기서 는 반지름이 1인 차원 초구의 넓이다.) 따라서 블랙홀 열역학과 유사하게 엔트로피

를 계산할 수 있다.[5][6][7]

참고 문헌[편집]

  1. de Sitter, W. (1917). “On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein’s latest hypothesis”. 《Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen Proceedings》 (영어) 19 (2): 1217–1225. Bibcode:1917KNAB...19.1217D. 
  2. de Sitter, W. (1918). “On the curvature of space”. 《Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen Proceedings》 (영어) 20 (1): 229–243. Bibcode:1918KNAB...20..229D. 
  3. Levi-Civita, Tullio (1917). “Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi”. 《Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei》 (이탈리아어) 26: 519–31. . 번역 “Republication of: The physical reality of some normal spaces of Bianchi”. 《General Relativity and Gravitation》 (영어) 43 (8): 2307–2320. doi:10.1007/s10714-011-1188-4. 
  4. Narnhofer, H.; I. Peter, W. Thirring (1996년 6월 30일). “How hot is the de Sitter space?”. 《International Journal of Modern Physics B》 (영어) 10 (13–14): 1507–1520. Bibcode:1996IJMPB..10.1507N. doi:10.1142/S0217979296000611. ISSN 0217-9792. 
  5. Spradlin, Marcus; Andrew Strominger, Anastasia Volovich (2001). “Les Houches lectures on de Sitter space” (영어). arXiv:hep-th/0110007. Bibcode:2001hep.th...10007S. 
  6. Hartong, Jelle (2004년 7월). 《On problems in de Sitter spacetime physics: scalar field, black holes and instability》 (영어). 석사 학위 논문 (지도 교수 Mees de Roo). 흐로닝언 대학교. 
  7. Gibbons, Gary W.; Stephen W. Hawking (1977년 5월 15일). “Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation”. 《Physical Review D》 (영어) 15 (10): 2738–2751. Bibcode:1977PhRvD..15.2738G. doi:10.1103/PhysRevD.15.2738. ISSN 1550-7998. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]