스칼라 곡률

스칼라 곡률(scalar曲率, 영어: scalar curvature 또는 Ricci scalar)은 리치 곡률 텐서의 대각합이다. 리만 다양체의 곡률을 나타내는 스칼라장이다. 기호는 대개 지표(index) 표기법에서는 $R$이나, 지표를 쓰지 않는 표기법에서는 리만 곡률 텐서 및 리치 곡률 텐서와 혼동되므로 $S$ 또는 $s$를 쓰기도 한다.

정의

리만 다양체 $(M,g)$의 리치 곡률 텐서 $\operatorname {Ric}$을 생각하자. 스칼라 곡률은 (계량 텐서 $g$의 역을 써 정의한) 리치 텐서의 대각합이다. 즉,

$S=\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric}$

지표를 넣어 쓰면 다음과 같다.

$S=R_{ij}g^{ij}$.

성질

2차원에서는 리만 곡률 텐서의 성분이 대칭에 따라 하나밖에 없다. 따라서 스칼라 곡률만으로 곡률이 결정된다. 또한, 2차원에서는 가우스 곡률의 두 배다.