리만 곡률 텐서

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

리만 곡률 텐서(Riemann曲率tensor, 영어: Riemann curvature tensor)는 리만 다양체곡률을 나타내는 4-텐서장이다. 리만 기하학일반 상대성 이론에서 쓰인다.

정의[편집]

계량 텐서 레비치비타 접속 을 정의할 수 있다. 그렇다면, 리만 곡률 텐서 은 (1,3)-텐서로, 다음과 같다.

.

여기서 , 벡터장이고, 리 괄호다. 즉, 리만 곡률 텐서는 공변 미분의 비가환성을 나타내는 개체로 이해할 수 있다.

좌표로 쓰면 다음과 같다. 여기서는 지표(index)와 아인슈타인 표기법을 쓰자. 레비치비타 접속은 크리스토펠 기호 로 나타내어진다. 그렇다면 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

.

성질[편집]

리만 곡률 텐서는 다음과 같은 대칭을 지닌다.

  • 반대칭성
  • 지표 교환 대칭성
  • 제1 비안키 항등식(영어: first Bianchi identity)
  • 제2 비안키 항등식(영어: second Bianchi identity)
.

이에 따라, 차원 다양체에서 리만 곡률 텐서는 개의 독립된 성분을 지닌다. (교환 대칭성은 반대칭성과 제1 비안키 항등식으로부터 유도할 수 있다.)

지표로 쓰면 이들은 다음과 같다.

  • 반대칭성
  • 지표 교환 대칭성
  • 제1 비안키 항등식
.
  • 제2 비안키 항등식
.

여기서 대괄호 는 지표의 (완전) 반대칭화, 소괄호 는 지표의 대칭호를 뜻한다.

2차원의 다양체의 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같은 꼴이다.

.

여기서 가우스 곡률이다. 즉, 리만 곡률 텐서는 하나의 성분만을 지닌다.