블랙홀 열역학

예술가가 묘사한 병합중인 두 블랙홀. 열역학 법칙을 지지한다.

블랙홀 열역학(black hole 熱力學, black hole thermodynamics)은 블랙홀의 사건 지평선과 열역학 법칙의 조화를 연구하는 물리학 분야이다.

흑체복사의 통계학적인 연구를 계기로 양자역학이 출현한 것처럼, 블랙홀을 통계학적으로 이해하려는 노력이 양자 중력의 이해에서부터 홀로그래피 원리의 수립에 이르기까지 깊은 영향을 미쳤다.

역사

야코프 베켄슈타인(영어: Jacob David Bekenstein, 히브리어: יעקב בקנשטיין)이 1972년에 블랙홀이 엔트로피를 가진다고 제안하였다. 그 뒤 스티븐 호킹이 실제로 블랙홀이 특정 온도에 해당하는 흑체 복사를 방출한다는 사실을 증명하였다. 1996년에 앤드루 스트로민저와 캄란 바파가 끈 이론을 사용하여 초대칭 블랙홀의 엔트로피를 직접 계산하였다.

전개

블랙홀 열역학에 따르면, 블랙홀은 유한한 온도를 가진 흑체처럼 행동한다. 이에 따라 블랙홀은 흑체 복사를 하게 되는데, 이를 호킹 복사라고 한다. 다만, 극대 블랙홀의 경우는 온도가 절대 영도이며, 따라서 복사하지 않는다. 이에 따라, 만약 블랙홀이 주변 온도보다 더 뜨겁다면 블랙홀은 호킹 복사를 통해 증발하게 된다. (다만, 반 더 시터르 공간과 같은 경우 진공이 유한한 온도를 가지고, 따라서 반 더 시터르 공간의 반지름보다 매우 큰 블랙홀은 증발하지 않는다.) 블랙홀의 온도는 그 표면 중력 $\kappa$에 비례하며, 다음과 같다.

$T={\frac {\hbar \kappa }{2\pi k_{B}c}}$

또한, 블랙홀은 일정한 엔트로피를 가진다. 블랙홀의 엔트로피는 그 사건 지평선의 넓이에 비례하며, 다음과 같다.

$S={\frac {k_{B}c^{3}A}{4\hbar G}}$

여기서 A는 사건 지평선의 넓이이며, d차원에서 [길이]^d−2의 단위를 가진다. G는 중력 상수이며, d차원에서 [길이]^d−1[시간]⁻²[질량]⁻¹의 단위를 가진다.

열역학 법칙

블랙홀의 경우, 열역학 제1법칙 및 열역학 제2법칙이 성립한다. 블랙홀 열역학 제1법칙은 다음과 같다.

$dE=T\,dS+\Omega \,dJ$

여기서

• $E=Mc^{2}$는 블랙홀의 ADM 에너지
• T는 블랙홀의 호킹 온도
• S는 블랙홀의 엔트로피
• Ω는 블랙홀의 각속도
• J는 블랙홀의 각운동량

이다.

블랙홀 열역학 제2법칙은 다음과 같다.

${\frac {dS}{dt}}\geq 0$

여기서 $dS/dt$는 시간에 따른 엔트로피의 변화다. 즉, 호킹 복사를 무시한다면 블랙홀의 사건 지평선의 크기를 축소시킬 수 없다. 만약 호킹 복사를 고려한다면, 총 엔트로피(블랙홀의 엔트로피와 외부의 엔트로피의 합)는 여전히 항상 증가한다.

열역학 제3법칙의 경우 여러 가지 해석이 존재한다. 만약 제3법칙을 "유한한 수의 과정을 통해 절대 영도의 계를 만들 수 없다"고 해석한다면, 블랙홀의 경우에도 성립한다. 즉, 유한한 수의 과정을 통해 극대 블랙홀을 만들 수 없다. 반면, 제3법칙을 "절대 영도에서의 엔트로피는 0이다"라고 해석한다면 이는 성립하지 않는다. 극대 블랙홀의 온도(표면 중력)는 0이지만, 그 엔트로피(사건 지평선 넓이)는 0이 아니다.

끈 이론에서의 유도

끈 이론을 사용하여, 초대칭 (BPS) 블랙홀 또는 초대칭에 가까운 블랙홀의 엔트로피를 계산할 수 있다. 가장 대표적인 예는 세 개의 전하를 가진 D1-D5-P 5차원 블랙홀이다.^:567–572 이는 다음과 같이 Q₁개의 D1-막과 Q₅개의 D5-막을 배열하여 만든다.

막	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
D5	—	•	•	•	•	—	—	—	—	—
D1	—	•	•	•	•	—	•	•	•	•
T4 또는 K3	—	—	—	—	—	—	•	•	•	•

이렇게 축소화하면, 6차원 시공간에 존재하는 1차원 끈을 얻을 수 있다. 이제, x⁵를 축소화하고, 이 방향에 n개의 운동량을 가진 중력파를 추가하자. 축소화한 차원 x⁵의 크기와 딜라톤(닫힌 끈 결합 상수)의 크기를 조절하면, 5차원 초대칭 극대 블랙홀을 얻을 수 있다. 이 블랙홀의 사건 지평선 넓이는 다음과 같다.

$A=8\pi G_{5}{\sqrt {Q_{1}Q_{5}n}}$

여기서 $G_{5}$는 5차원 중력 상수다.

이 블랙홀의 미시적 상태(microstate)는 다음과 같이 셀 수 있다.^:582–585 블랙홀의 미시적 상태는 한 끝은 D1-막에, 다른 끝은 D5-막에 붙어 있는 끈들로 주어진다. 편의상 $Q_{1}$과 $Q_{5}$가 서로소라고 하자. 그렇다면 이는 6차원에서 x⁵ 방향으로 $Q_{1}Q_{5}$번 감긴 끈들로 나타낼 수 있다.

이 끈들은 나머지 4개의 공간 방향으로 진동할 수 있다. 진동 모드들은 음이 아닌 정수들 $N_{m}^{i}$ ($i=1,2,3,4$, $m=0,1,2,\dots$)로 주어진다. 즉, 끈은 $x^{i}$방향으로 m번째 에너지 준위에 있다. 이 경우, 끈의 감음수(winding number)는 다음과 같다.

$nW=\sum _{i=1}^{4}\sum _{m=1}^{\infty }mN_{m}^{i}$

(엄밀히 말하면, 닫힌 끈의 진동 모드는 오른쪽 또는 왼쪽 방향 진동 두 가지가 가능하다. 다만, 초대칭을 보존하려면 모든 모드들이 같은 방향을 따라야 한다.) 따라서, 양자수 $Q_{1}$, $Q_{5}$, $n$을 가진 블랙홀의 미시적 상태는

$nQ_{1}Q_{2}=16\sum _{i=1}^{4}\sum _{m=1}^{\infty }mN_{m}^{i}$

를 만족시키는 $(N_{m}^{i})_{i,m}$들의 개수 $\Omega (Q_{1}Q_{5}n)$으로 주어진다.

$\ln \Omega (m)\approx 2\pi {\sqrt {m}}$

임을 수학적으로 보일 수 있다. 따라서

$\ln \Omega =S\approx A/4G_{5}$

임을 알 수 있다.

Ω는 다음과 같이 계산할 수 있다. 우선, Ω는 다음과 같은 생성함수로 나타낼 수 있다.

$G(z)=16\left(\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1+z^{m}}{1-z^{m}}}\right)^{4}=\sum _{m=0}^{\infty }\Omega (m)z^{m}$

따라서, 경로적분법을 사용하여 $\Omega (m)$을 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\Omega (m)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {dz}{w^{m+1}}}G(w)$

참고 문헌

• Wald, Robert M. (2001). “The thermodynamics of black holes”. 《Living Reviews in Relativity》 (영어) 4: 6. arXiv:gr-qc/9912119. Bibcode:1999gr.qc....12119W. doi:10.12942/lrr-2001-6. ISSN 1433-8351. 
• Bekenstein, Jacob D. (2008). “Bekenstein-Hawking entropy”. 《Scholarpedia》 (영어) 3 (10): 7375. doi:10.4249/scholarpedia.7375. ISSN 1941-6016. 
• Ross, Simon F. (2005). “Black hole thermodynamics” (영어). arXiv:hep-th/0502195. Bibcode:2005hep.th....2195R. 
• Page, Don N. (2005). “Hawking radiation and black hole thermodynamics”. 《New Journal of Physics》 (영어) 7 (1): 203. arXiv:hep-th/0409024. Bibcode:2005NJPh....7..203P. doi:10.1088/1367-2630/7/1/203. ISSN 1367-2630. 
• Hawking, Stephen W.; G. F. R. Ellis (1973). 《The Large Scale Structure of Space–Time》 (영어). New York: Cambridge University Press. Bibcode:1973lsss.book.....H. doi:10.2277/0511826303. ISBN 0-521-09906-4. 
• Hawking, Stephen W. (1994). “The Nature of Space and Time” (영어). arXiv:hep-th/9409195. Bibcode:1994hep.th....9195H. 
• 't Hooft, Gerardus (1985). “On the quantum structure of a black hole” (PDF). 《Nuclear Physics B》 (영어) 256: 727–745. Bibcode:1985NuPhB.256..727T. doi:10.1016/0550-3213(85)90418-3. ISSN 0550-3213. 2011년 9월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2009년 9월 3일에 확인함.