맥스웰 관계식

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열역학에서, 맥스웰 관계식(영어: Maxwell relations)이란 열역학 퍼텐셜들로부터 유도되는 관계식이며, 두 개의 변수에 대한 열역학 퍼텐셜의 이차도함수가 미분 순서에 관계없이 같음을 의미한다

정의[편집]

Φ를 열역학 퍼텐설, 를 열역학 퍼텐셜의 자연변수라 하면, 맥스웰 관계식은 다음과 같다.

자주 사용되는 4개의 맥스웰 관계식은 다음과 같다.

여기서 각 퍼텐셜과 그 자연변수는 아래와 같다.

유도[편집]

맥스웰 관계식은 함수들 각각에 관련해 가장 편한 독립 변수들을 통해서 쓰게 된다.

내부 에너지[편집]

S와 V가 독립변수일 때,

라고 쓰고 수학적으로 표현하게 되면

여기에서 dS와 dV의 대응하는 곁수는 같게 되어야만 하므로

이것은 이제 U에 대한 도함수는 그 미분순서와는 무관하다는 것을 이용하면 된다.

이것을 바꾸면,

이것을 정리하면

엔탈피[편집]

이제 S와 P가 독립변수일 때,

라고 쓰고 이것을 조금 바꾸면

여기서 H는 엔탈피이다. 이제 위에서와 같이

여기에서 dS와 dp의 대응하는 곁수는 같게 되어야만 하므로

이것은 이제 H에 대한 도함수는 그 미분순서와는 무관하다는 것을 이용하면 된다.

이것을 정리하면 다음의 관계식이 나온다.

헬름홀츠 자유 에너지[편집]

다음으로 T와 V가 독립변수일 때,

또는

라고 쓸 수 있는데, 여기서 F는 헬름홀츠 자유 에너지이다. 이제 위에서와 같이

여기에서 dT와 dV의 대응하는 곁수는 같게 되어야만 하므로

이것은 이제 F에 대한 도함수는 그 미분순서와는 무관하다는 것을 이용하면 된다.

이것을 정리하면 다음의 관계식이 나온다.

기브스 자유 에너지[편집]

다음으로 T와 p가 독립변수일 때,

또는

라고 쓸 수 있는데, 여기서 G는 기브스 자유 에너지이다. 이제 위에서와 같이

식을 비교하면,

이것은 이제 F에 대한 도함수는 그 미분순서와는 무관하다는 것을 이용하면 된다.

이것을 정리하면 다음의 관계식이 나온다.