하이젠베르크 스핀 사슬

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물리학에서, 하이젠베르크 스핀 사슬(영어: Heisenberg spin chain)은 1차원 자석의 간단한 양자 역학 모형이다. 양자 적분 가능 모형의 일종이다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 자연수 . 이는 스핀 사슬의 길이이다.
  • 의 복소수 표현 , , . 이는 스핀 에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 에 대응되는 표현은 복소수 차원 표현이다.
  • 3×3 실수 대칭 행렬 .

그렇다면, 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간텐서곱

이다. 각 에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간 및 그 위에만 작용하는 표현 를 정의할 수 있다.

일 경우, 그 위의 해밀토니언 연산자는 다음과 같다.

여기서 로 취급된다. 즉, 이다.

특히, 다음과 같은 용어가 사용된다.

  • 만약 의 세 고윳값 이 모두 같다면 (즉, 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXX 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXX spin chain)이라고 한다.
    • 이 경우, 만약 이 양수라면 이는 강자성 XXX 스핀 사슬(強磁性XXX spin사슬, 영어: ferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다.
    • 이 경우, 만약 이 음수라면 이는 반강자성 XXX 스핀 사슬(反強磁性XXX spin사슬, 영어: antiferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다.
  • 만약 의 세 고윳값 가운데 두 개가 같다면 (즉, 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXZ spin chain)이라고 한다.
  • 만약 의 세 고윳값 이 모두 서로 다르다면 (즉, 안정자군자명군이라면), 이를 하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XYZ spin chain)이라고 한다.

또한, 사용되는 스핀 를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX½ 스핀 사슬”은 이며, 인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다.

성질[편집]

하이젠베르크 XXX½ 스핀 사슬의 해밀토니언 연산자 방향 총 스핀 연산자

와 가환하며, 이를 마그논 수로 해석할 수 있다.

하이젠베르크 XXXs 스핀 사슬의 -마그논 베테 방정식은 다음과 같다.

역사[편집]

베르너 하이젠베르크가 1928년에 도입하였다.[1] 곧 1931년에 한스 베테가 XXX 스핀 사슬을 베테 가설 풀이(영어: Bethe ansatz)를 도입하여 풀었다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Heisenberg, Werner (1928년 9월). “Zur Theorie des Ferromagnetismus”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 49 (9–10): 619–636. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/BF01328601. 
  2. Bethe, Hans (1931년 3월). “Zur Theorie der Metalle”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 71 (3–4): 205–226. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/BF01341708. 
  • Rodney J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, London, Academic Press, 1982

외부 링크[편집]