보스 기체

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통계역학에서, 보스 기체(Bose氣體, Bose gas)는 서로 상호작용하지 않는, 같은 종류의 보손으로 이루어진 기체다. 고전적 이상 기체에 대응하는 두 가지 양자역학적 이상 기체 가운데 하나다. 보스 기체는 보스-아인슈타인 통계를 따르며, 매우 낮은 온도에서는 상전이를 거쳐 보스-아인슈타인 응축 상태가 된다. 보스-아인슈타인 통계를 제창한 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다.

전개[편집]

큰 분배 함수와 큰 퍼텐셜[편집]

이상 보스 기체는 통상적으로 큰 바른틀 앙상블을 통해 다룬다. 보스 기체의 큰 분배 함수는 다음과 같다.

각 항의 곱은 부분 에너지 ε,에 대응하는 값이고, g는 ε의 에너지를 가지는 상태수이다. z는 퓨가시티로, 다음과 같다.

.

여기서 화학 퍼텐셜이고, 는 볼츠만 인자이다.

큰 분배 함수의 로그큰 퍼텐셜 는 다음과 같다.

토머스-페르미 근사[편집]

상자 안 기체 모형에서 기술된 절차를 따르면 우리는 평균 에너지가 에너지 차이에 비해 큰 값을 가지게 되어 위 식의 합이 적분으로 대체되는 토머스-페르미 근사를 사용할 수 있다.

겹침을 나타내는 는 다음과 같이 표현된다.

(α: 상수, :임계에너지, : 감마 함수) 예를 들어, 질량이 있는 상자 안 보스 기체에 대하여, α= 3/2이고, 다음과 같은 임계 에너지를 얻는다.

(Λ : 열파장) 질량이 있는 조화 트랩 안 보스 기체에서는 α= 3이고, 다음과 같은 임계 에너지를 얻는다.

(V(r)=mω2r2/2  :조화퍼텐셜, E:부피에 대한 함수) 우리는 큰 퍼텐셜의 방정식을 테일러 급수를 적분하거나, 큰 퍼텐셜이 Li1(z exp(-β E))의 멜린 변환에 비례(Lis(x) : polylogarithm 함수)한 것을 이용하여 계산한다. 계산 결과는 다음과 같다.

보스 기체에 대한 연속체 근사의 문제점은 바닥 상태에서 0의 에너지에 대한 겹침이 0이 되어 실제로는 무시되었다는 점이다. 이 잘못된 점은 보스-아인슈타인 응축을 다룰 때 심각한 문제가 되며, 이 문제점에 대해서는 다음 문단에서 다룰 것이다.

바닥 상태[편집]

총 입자의 수는 큰 퍼텐셜에서 다음과 같이 얻어진다.

이 식에서 다중로그 부분은 양의 실수이어야 하고, 이면 리만 제타 함수 ζ(α)와 같아지게 되는, 최댓값을 얻을 수도 있다. 고정된 에 대하여 가장 큰 값은 β가 임계값 β을 가질 수 있을 때 다음 식과 같이 얻게 된다.

이 식은 임계온도 Tc=1/kβc 아래에서 토머스-페르미 근사가 적용되지 않는 것에 부합한다. 위의 방정식을 정리하여 임계온도에 대한 식을 얻을 수 있다.

예를 들어, 이고, 위에서 언급되었던 를 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

다시 임계 온도에 대한 결과를 계산할 수 없게 되었다. 그 이유는 위의 방정식을 이용하여 계산한 입자의 수는 음수가 되기 때문이다. 이 문제는 토머스-페르미 근사가 바닥 상태에서의 겹침을 0으로 설정했기 때문이고, 이 설정을 잘못되었다. 응축을 받아들인다면 바닥 상태는 없고 이에 따라 방정식은 틀리게 된다. 그러나 결과적으로 위의 방정식은 들뜬 상태에서의 입자수는 정확하게 예측하고, 단순히 바닥 상태 항을 따로 구분하면 나쁜 근사는 아니다.

N는 바닥상태의 응축 입자수이고, 그 값은 다음과 같다.

이 식은 절대 영도에서도 계산할 수 있게 되었다. 표준화된 온도 τ를 다음과 같이 정의하자.

이 변수들은 낮은 온도의 극한에서 τα에 선형적이고, 화학 퍼텐셜을 제외하면, 높은 온도의 극한에서 1/τα에 선형적인 것을 볼 수 있다. 입자수가 증가하면 응축과 들뜸의 비율은 임계 온도에서 불연속적으로 도달한다. 입자수에 대한 식은 다음과 같이 표준화된 온도를 이용하여 표현할 수 있다.

과 τ이 주어지면, 이 식은 τα에 대하여 정리가 되고, 에 대한 급수해는 τα의 급수 또는 τα의 급수에 대한 역수의 점근확장을 이용한 역 급수의 방법으로 찾을 수 있다. 이 확장에서 우리는 T =0근처인 맥스웰-볼츠만 분포에서 온도는 무한에 접근하는 것을 볼 수 있다.

상자 속 기체에 대해서[편집]

양자역학에서 상자 속 양자 입자의 결과는 상자 속에 양자 이상 기체에 대한 평형 상태에서 볼 수 있다. 여기서 상자 안에 입자들은 서로 상호작용하지 않는다고 가정한다. 이러한 간단한 모델은 예를 들면 이상적인 대량의 페르미 기체와 같은 다양한 양자 이상 기체뿐만 아니라 고전적인 이상 기체들도 묘사할 수 있다.

맥스웰-볼츠만 통계, 보스-아인슈타인 통계, 또는 페르미-디랙 통계로부터 결과를 사용함으로써 매우 큰 상자의 한계를 고려한다. 토머스-페르미 근사법은 적분으로서 합과 차이로서 에너지 상태의 겹침을 표현하는 데 사용된다. 이것은 이 기체의 열역학 특성이 바른틀 분배 함수이나 큰 분배 함수를 사용하여 계산될 수 있도록 도와준다. 이러한 결과는 큰 입자나 그렇지 않은 입자들에 대해서 둘 다 적용 가능하다.

상태의 겹침에서 토머스-페르미 근사[편집]

상자 안에서 거대하거나 그렇지 않은 입자들에 대해 입자의 상태는 양자수 [nxnynz] 의 집합에 의해서 열거된다. 그 운동량의 크기는 아래와 같이 주어진다.

플랑크 상수이고, 은 상자의 길이이다. 입자의 각각 가능한 상태는 자연수의 3차원 격자에서 점으로서 생각될 수 있다. 원점으로부터 어떤 점까지의 거리는 아래와 같이 주어진다.

특정한 양자수 f를 가정해보자. 여기서 f는 충돌에 의해서 바꿀 수 있는 입자의 자유의 내부 정도의 숫자이다. 예를 들어 스핀 ½ 입자는 이다. n의 큰 값에 대해서, p보다 작거나 같은 운동량의 크기에 대해 상태숫자에 대해서 방정식은 아래와 같이 근사된다.

이 식은 반지름 n의 구의 부피에 f를 곱한 것을 8로 나눈 것이다. pp+dp사이의 운동량의 크기에 대해 상태의 숫자는 다음과 같다.

V=L3  는 상자의 부피이다. 이러한 연속체를 사용하여 낮은 에너지에 대한 자력을 잃었다. 바닥 상태인 n=1을 포함해서이다.

연속체 근사 없이, 에너지 를 가진 입자의 수는 다음과 같이 주어진다.

.

여기서

, (상태 겹침)
 
이 식에서 β = 1/kT, 볼츠만 상수 k, 온도 T, 화학 퍼텐셜 μ .
(맥스웰-볼츠만 통계, 보스-아인슈타인 통계, 페르미-디랙 통계를 참조)

연속체 근사를 사용하면, E  와 E+dE  사이의 에너지를 가진 입자의 숫자는 dNE이고 다음과 같이 표현된다.

여기서   는 E  와 E+dE  사이의 에너지를 가진 상태의 숫자이다.

열역학[편집]

입자수에 대한 식에서 바닥상태에 해당하는 부분을 더하는 것은 큰 퍼텐셜에 바닥 상태에 해당하는 항을 더하는 것과 같다.

모든 열역학적 성질은 큰 퍼텐셜에서부터 계산될 수 있다. 아래의 표는 낮은 온도와 높은 온도의 극한, 그리고 무한 극한의 입자수에서 계산된 다양한 열역학적 값들을 나타낸 것이다. 등호(=)는 정확한 결과를 나타내주고 근사 기호는 의 급수 중 앞의 몇 항만 있는 경우에 해당하는 결과를 나타낸 것이다.

Quantities General
z Vapor fraction
Vapor fraction
상태 방정식
기브스 자유 에너지

표에서 보듯이 모든 값들은 높은 온도의 극한에서 고전 이상 기체에 근접하는 것을 볼 수 있다. 위에서 나타난 값들은 다른 열역학적 값들을 구하는 데 쓰일 수 있다. 예를 들어, 모든 온도에서의 고전 이상기체에서 내부에너지와 압력, 부피의 곱은 비례하다.

비슷한 경우로, 일정한 부피에서 견줌열은 다음과 같다.

엔트로피는 다음의 식으로 표현된다.

주의할 점은 높은 온도의 극한에서는

의 식을 얻게 되며, α=3/2에 대하여 이면 자쿠어-테트로더 방정식(영어: Sackur-Tetrode equation)으로 재기술된다.

참고 문헌[편집]

  • Huang, Kerson (1967). 《Statistical Mechanics》. New York: John Wiley and Sons. 
  • Isihara, A. (1971). 《Statistical Physics》. New York: Academic Press. 
  • Landau, L. D.; E. M. Lifshitz (1996). Statistical Physics, 3rd Edition Part 1. Oxford: Butterworth-Heinemann.
  • Pethick, C. J.; H. Smith (2004). 《Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases》. Cambridge: Cambridge University Press. 
  • Yan, Zijun (2000). “General Thermal Wavelength and its Applications”. 《European Journal of Physics》 21 (6): 625-631. doi:10.1088/0143-0807/21/6/314.