미분기하학에서 등각 다양체(登角多樣體, 영어: conformal manifold)는 리만 계량의 (스칼라 함수의 곱에 대한) 동치류가 갖추어진 매끄러운 다양체이다.
매끄러운 다양체
위의 두 준 리만 계량
,
에 대하여, 다음과 같은 관계가 존재한다면 서로 동치라고 하자.
![{\displaystyle g=\lambda h\qquad (\lambda \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{+}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16081ca95c8492cc23dedfcf7d50f64987a881b)
위와 같은 준 리만 계량의 동치류를 등각 계량(영어: conformal metric)이라고 하자. 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체를 등각 다양체라고 한다.
차원 준 리만 다양체
의 리만 곡률
![{\displaystyle \operatorname {Riem} (X,Y)Z=([\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]})Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a818c2a45bf8001a74a8d8a7644aee27e50dd257)
![{\displaystyle (\operatorname {Riem} (X,Y)Z)^{l}=R^{l}{}_{ijk}Z^{i}X^{j}Y^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a50b1822d28b2c74be47e78776ed9f15ea105f)
을 생각하고, 리치 곡률
![{\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\operatorname {Riem} ^{l}{}_{ilj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1689069b4a1e8343a8e393571b25aa369a8553)
를 정의하자. 그렇다면,
![{\displaystyle g'_{ij}=\exp(2\phi )g_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30fd10a326f5926559fa8a542833bca298161d04)
에 대하여, 리치 곡률은 다음과 같이 변환한다.
![{\displaystyle \operatorname {Ric} [g']_{ij}=\operatorname {Ric} [g]_{ij}-(d-2)\left(\nabla _{i}\partial _{j}\phi -(\partial _{i}\phi )\partial _{j}\phi \right)-g_{ij}g^{kl}\left(\nabla _{k}\partial _{l}\phi +(d-2)(\partial _{k}\phi )\partial _{i}\phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d9b968a3587fd5fbf782e409fb5c81ebe8c203)
즉, 리치 곡률은
일 경우 등각 불변량이 아니며, 등각 다양체에 대하여 정의될 수 없다. (물론
일 경우 모든 곡률은 항상 0이다.)
반면,
일 때, 바일 곡률 텐서
![{\displaystyle C^{i}{}_{jkl}=\operatorname {Riem} ^{i}{}_{jkl}+{\frac {\operatorname {Ric} _{i'l}g^{ii'}g_{jk}-\operatorname {Ric} _{i'k}g^{ii'}g_{jl}+\operatorname {Ric} _{jk}\delta _{l}^{i}-\operatorname {Ric} _{i'l}g^{ii'}g_{jk}}{d-2}}+{\frac {\delta _{k}^{i}g_{jl}-\delta _{l}^{i}g_{jk}}{(d-1)(d-2)}}g^{mn}\operatorname {Ric} _{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17cd7b65c893b259eca843948651bdcfd7bf804)
를 정의하면, 이는 등각 변환에 대하여 불변임을 보일 수 있다. 즉, (1,3)차 텐서인 바일 곡률은 등각 다양체에 대하여 잘 정의된다.
차 미분 형식의 경우, 호지 쌍대 사상은 등각 변환
에 대하여 다음과 같이 변환한다.
![{\displaystyle *'=\exp((d-2p)\phi )*}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e54bfd669700dda4d82f82944fc4ff029cfc100)
다시 말해, 만약
일 경우에만, 호지 쌍대 사상은 등각 불변이다.
등각 다양체
위의 등각 킬링 벡터장(영어: conformal Killing vector field)은 다음 조건을 만족시키는 벡터장이다.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\qquad (\lambda \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{+}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aef48dec5a2dc81c0591bc62ed47d53c0fc1b11)
이는 구체적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle \nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}-{\frac {2}{d}}g_{ij}\nabla _{k}X^{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120b15c6a9b304eb542f67e1931efa6af887ac61)
이는 등각 다양체의 대칭을 나타낸다.