등각 다양체

미분기하학에서 등각 다양체(登角多樣體, 영어: conformal manifold)는 리만 계량의 (스칼라 함수의 곱에 대한) 동치류가 갖추어진 매끄러운 다양체이다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 두 준 리만 계량 $g$, $h$에 대하여, 다음과 같은 관계가 존재한다면 서로 동치라고 하자.

$g=\lambda h\qquad (\lambda \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{+}))$

위와 같은 준 리만 계량의 동치류를 등각 계량(영어: conformal metric)이라고 하자. 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체를 등각 다양체라고 한다.

성질

곡률

$d$차원 준 리만 다양체 $(M,g)$의 리만 곡률

$\operatorname {Riem} (X,Y)Z=([\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]})Z$

$(\operatorname {Riem} (X,Y)Z)^{l}=R^{l}{}_{ijk}Z^{i}X^{j}Y^{k}$

을 생각하고, 리치 곡률

$\operatorname {Ric} _{ij}=\operatorname {Riem} ^{l}{}_{ilj}$

를 정의하자. 그렇다면,

$g'_{ij}=\exp(2\phi )g_{ij}$

에 대하여, 리치 곡률은 다음과 같이 변환한다.

$\operatorname {Ric} [g']_{ij}=\operatorname {Ric} [g]_{ij}-(d-2)\left(\nabla _{i}\partial _{j}\phi -(\partial _{i}\phi )\partial _{j}\phi \right)-g_{ij}g^{kl}\left(\nabla _{k}\partial _{l}\phi +(d-2)(\partial _{k}\phi )\partial _{i}\phi \right)$

즉, 리치 곡률은 $d\geq 2$일 경우 등각 불변량이 아니며, 등각 다양체에 대하여 정의될 수 없다. (물론 $d\leq 1$일 경우 모든 곡률은 항상 0이다.)

반면, $d>2$일 때, 바일 곡률 텐서

$C^{i}{}_{jkl}=\operatorname {Riem} ^{i}{}_{jkl}+{\frac {\operatorname {Ric} _{i'l}g^{ii'}g_{jk}-\operatorname {Ric} _{i'k}g^{ii'}g_{jl}+\operatorname {Ric} _{jk}\delta _{l}^{i}-\operatorname {Ric} _{i'l}g^{ii'}g_{jk}}{d-2}}+{\frac {\delta _{k}^{i}g_{jl}-\delta _{l}^{i}g_{jk}}{(d-1)(d-2)}}g^{mn}\operatorname {Ric} _{mn}$

를 정의하면, 이는 등각 변환에 대하여 불변임을 보일 수 있다. 즉, (1,3)차 텐서인 바일 곡률은 등각 다양체에 대하여 잘 정의된다.

호지 쌍대

$p$차 미분 형식의 경우, 호지 쌍대 사상은 등각 변환 $g(-,-)\mapsto \exp(2\phi )g(-,-)$에 대하여 다음과 같이 변환한다.

$*'=\exp((d-2p)\phi )*$

다시 말해, 만약 $p=d/2$일 경우에만, 호지 쌍대 사상은 등각 불변이다.

등각 킬링 벡터장

등각 다양체 $(M,[g])$ 위의 등각 킬링 벡터장(영어: conformal Killing vector field)은 다음 조건을 만족시키는 벡터장이다.

${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\qquad (\lambda \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{+}))$

이는 구체적으로 다음과 같다.

$\nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}-{\frac {2}{d}}g_{ij}\nabla _{k}X^{k}=0$

이는 등각 다양체의 대칭을 나타낸다.

참고 문헌

• Kobayashi, Shoshichi (1970). 《Transformation Groups in Differential Geometry》 Fir판. Springer. ISBN 3-540-05848-6. 
• Slovák, Jan (1993). 《Invariant Operators on Conformal Manifolds》. Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation). 
• Sternberg, Shlomo (1983). 《Lectures on differential geometry》. New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3. 

외부 링크

• “Conformal connection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Conformal geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Conformal geometry”. 《nLab》 (영어).