맥스웰-볼츠만 통계

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

통계역학에서, 맥스웰-볼츠만 통계(Maxwell–Boltzmann statistics)는 양자 효과를 감안하기에는 미미할 정도로 온도가 높고 밀도가 낮은 경우에 한해 열적 평형 상태에서 다양한 입자의 통계적 분포를 설명한다.

개념[편집]

각 상태에 있는 모든 알갱이 수에 대하여 합하여야만 한다. 즉 각 r에 대해서 n_r=0,1,2, 3,... 인데 고정된 총 알갱이 수에 대해 다음의 제한식을 따라야만 한다.

\sum_i N_i=N\,

그런데 알갱이는 구별할 수 있는 것으로 또한 생각을 한다. 그러므로 다른 상태에 있는 두 알갱이의 어떤 순열은 비록 수 {n_1, n_2, n_3, ...} 는 바뀌지 않은 채로 남아 있지만 기체 전체의 구별되는 상태로 세어야만 한다. 이것은 각 한-알갱이 상태에 얼마나 많은 알갱이가 있는가를 명시하는 것이 충분하지 못해서가 아니라, 어느 상태에 있는 알갱이가 있는가를 명시하는 것이 필요하기 때문에 그렇다.

큰 분배함수[편집]


Z _G ^{MB} = \prod _{k=1} ^\infty exp(z e ^{-\beta \epsilon_k})

여기서 z = e ^{\beta\mu}이다.

큰 분배함수는 다음과 같이 증명할 수 있다.

Z _G ^{MB} = \sum _{n_k} \frac{1}{n_1! n_2! \cdots} (e ^{-\beta (\epsilon_1 - \mu)}) ^{n_1} (e ^{-\beta (\epsilon_2 - \mu)}) ^{n_2} \cdots
=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^\infty \frac{1}{n_k !} e ^{-\beta (\epsilon_k - \mu) ^{n_k}}
=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^\infty \frac{1}{n_k !} (z e ^{-\beta\epsilon_k}) ^{n_k}
=\prod _{k=1} ^\infty exp(z e ^{-\beta \epsilon_k})

점유수[편집]

맥스웰-볼츠만 통계에 따르면, 상태 i에 놓여 있는 입자의 점유수는,


\frac{N_i}{N} = \frac {g_i} {e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}} = \frac{g_i e^{-\epsilon_i/kT}}{Z}
N_i는 상태 i에 놓인 입자의 점유수
\epsilon_i는 상태 i에서의 에너지
g_i는 상태 i에서의 겹침
μ는 화학 퍼텐셜
k볼츠만 상수
T절대온도
N는 총 입자수
N=\sum_i N_i\,

같이 보기[편집]