최소 모형 (등각 장론)

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이론물리학에서, 최소 모형(最小模型, 영어: minimal model)은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다.

비초대칭 최소 모형[편집]

유니터리 최소 모형은 하나의 정수

으로 정의된다. 이는

잉여류로 정의되며,[1]:104 이 경우 중심 전하는

이 된다.

최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다.

여기서

이다.

최소 모형은 여러 격자 모형임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 은 생략하였다.)

k 중심 전하 c 1차장 무게 h 설명
1 1/2 1/16, 1/2 임계 이징 모형. 여기서 일차장들은 각각 단위원, 스핀 밀도, 에너지 밀도이다.
2 7/10 3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2 삼중 임계(tricritical) 이징 모형
3 4/5 1/40, 1/15, 1/8, 2/5, 21/40, 2/3, 7/5, 13/8, 3 임계 3상태 포츠 모형
4 6/7 1/56, 1/21, 5/56, 1/7, 3/8, 10/21, 33/56, 5/7, 4/3, 85/56, 12/7, 23/8, 22/7, 5 삼중임계(tricritical) 3상태 포츠 모형

𝒩=1 초등각 최소 모형[편집]

초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류

에 의하여 정의된다.[1]:175 의 중심 전하는 이므로, 최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.[1]:106[1]:174–175

이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다.[2][3]

여기서 이며, 에 대한 조건은 다음과 같다.

  • 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는 는 짝수이며, 이다.
  • 라몽(R) 경계 조건에서는 는 홀수이며, 다음이 성립한다.

이에 따라, 진공을 포함해 총 개의 초1차장이 존재하며, 그 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수 의 경우 라몽 바닥 상태(인 상태)가 하나 존재한다.

처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 () 및 를 가하여 얻을 수 있는 것들은 생략하였다.

k 중심 전하 c NS 1차장 R 1차장 설명
1 7/10 1/10 7/16, 3/80 삼중 임계 이징 모형 ( 비초대칭 최소 모형)의 불변 부분[1]:175[2]
2 1 1/16, 1/6, 1 3/8, 1/24, 9/16, 1/16 반지름이 인 원 위의 시그마 모형. 최소 모형과 같음[4][5]
3 81/70 3/70, 9/10, 3/70, 8/7, 3/14 27/80, 269/560, 29/560, 31/16, 73/112, 9/112
4 5/4 1/32, 1/12, 5/32, 1/4, 5/6, 33/32, 5/4, 3 5/96, 1/16, 3/32, 5/16, 41/96, 9/16, 23/32, 29/16, 67/32

𝒩=2 초등각 최소 모형[편집]

초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다.[1]:178–179

이들은

잉여류로 정의할 수 있다.[1]:188 이 경우 의 중심 전하는 이며 의 중심 전하가 이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다.

장들의 목록[편집]

최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수 로 정해지며,[6] 여기서

이며,

이면 같은 등각장을 나타낸다. 가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약

이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하 및 등각 무게 는 다음과 같다.

스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다.

이에 따라

이 된다.

NS 장[편집]

NS 경계 조건의 초1차장들은

에 대응하며, 총 개가 있다.

최소 모형의 장 가운데, 손지기장(영어: chiral field, 인 장)은 , 인 것들이며, 반손지기장(영어: antichiral field, 인 장)은 , 인 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각 개가 있다. 라몽 바닥 상태(인 장)는 인 것들이며, 이 경우 이다. 이들은 총 개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다.

손지기장들의 경우, 코호몰로지를 취하여 으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환몫환

이다. 여기서 에 대응한다.

R 장[편집]

R 경계 조건의 초1차장들은

에 대응하며, 이 가운데 인 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 총 개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데 개는 라몽 바닥 상태, 개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다.

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처음 몇 개의 최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 및 수록된 것들에 또는 를 가하여 얻을 수 있는 것은 생략하였다.

k 중심 전하 c 진공을 제외한 (반)손지기장의 전하 q 기타 NS 장 R 바닥 상태 q 기타 R 장 설명
1 1 ±⅓ (없음) ±⅙ (⅜,±½) 반지름이 인 원 위의 시그마 모형. 최소 모형과 같음[4][5]
2 3/2 ±¼, ±½ (½,0) 0, ±¼ (5/16,±½), (9/16,±¼), (9/16,±¾)
3 9/5 ±⅕, ±⅖, ±⅗ (⅖,0), (7/10,±⅕) ±1/10, ±3/10 (11/40,±½), (19/40,±3/10), (19/40,±7/10), (27/40,±1/10), (27/40,±9/10), (7/8,±1/2)
4 2 ±⅙, ±⅓, ±½, ±⅔ (⅓,0), (7/12,±⅙), (⅔,±⅔), (¾,±½), (⅚,±⅓), (1,0), (4/3,±⅔) 0, ±⅙, ±⅓ (생략)

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c=½ 최소 모형[편집]

최소 모형은 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다.[7] 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다.

이징 모형 표현[편집]

(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형 대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 을 보인다. 이 두 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은 최소 모형으로 나타내어진다.

2차원 이징 모형에서, 각 스핀이 이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장을 생각할 수 있다. 그 2점 함수

의 꼴을 갖는다. 여기서 는 두 점 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 장

를 생각하자. 여기서 와 근접한 모든 에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수

를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수 최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가 인 스칼라장에, 평균 에너지 장은 인 스칼라장에 대응한다.

자유 페르미온[편집]

2차원 마요라나-바일 스피너장 는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서

와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우, 는 무게가 인 장이며, 는 무게가 인 장이다.

스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, 뒤틀림장(영어: twist field)이라고 한다.[7]:§6.2 정칙 성분의 뒤틀림장은 , 반정칙 성분의 뒤틀림장은 이다.

정칙 자유 페르미온의 이론은 정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우 는 무게 인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다.

c=7/10 최소 모형[편집]

최소 모형은 삼중 임계 이징 모형(영어: tricritical Ising model)의 임계점 근처 현상을 나타낸다.[8] 삼중 임계 이징 모형에서 각 스핀은 의 값을 가지며, 이 경우 해밀토니언은

이다. 이 이론에서는 온도 및 (입자수 에 대응하는) 퓨가시티 를 조절할 수 있다. 만약 퓨가시티가 이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도 에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로, 이며 인 경우 어떤 에서 1차 상전이가 존재한다. (이라면 두 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만, 라면 입자수 밀도가 0으로 가 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서, 를 둘 다 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 삼중점(영어: tricritical point)이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은 최소 모형으로 나타내어진다.

이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다.[9]

무게 설명
(0,0) 진공
(3/80,3/80) 평균 스핀 (자기화)
(7/16,7/16) 자기화 준밀도(영어: subleading magnetization density)
(1/10,1/10) 에너지 밀도
(3/5,3/5) 양공 밀도(영어: vacancy) = 에너지 밀도의 초대칭짝
(3/2,3/2) 에너지 준밀도(영어: subleading energy density) = 초전류

c=1 초대칭 최소 모형[편집]

초대칭 최소 모형은 반지름이 인 원 위의 시그마 모형으로 나타낼 수 있다.[4][5] 이 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장 의 지수들은 다음과 같다.

이 경우, 이 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다.

이 이론에서 초등각 대수의 표현은 다음과 같다.

이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상 , 이다.

NS (반)손지기장
라몽 바닥 상태
라몽 상태

이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에 를 가하여 얻어진다. 예를 들어, 를 가하여 얻는다.

이 모형에, 와 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면, 초대칭 최소 모형을 얻는다.

참고 문헌[편집]

  1. Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. 
  2. Friedan, D.; Z. Qiu, S. Shenker (1985). “Conformal invariance, unitarity, and critical exponents in two dimensions” (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) 151: 37. 
  3. (영어). arXiv:hep-th/9801035.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
  4. Kiritsis, Elias B. (1988년 1월 21일). “The minimal superconformal system and its realisation in the critical O(2) Gaussian model”. 《Journal of Physics A: Mathematical and General》 (영어) 21 (2): 297–306. ISSN 0305-4470. doi:10.1088/0305-4470/21/2/011.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 5) (도움말)
  5. Lerche, Wolfgang; Cumrun Vafa, Nicholas P. Warner. “Chiral rings in superconformal theories” (PDF). 《Nuclear Physics B》 (영어). Bibcode:1989NuPhB.324..427L. doi:10.1016/0550-3213(89)90474-4.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 17) (도움말)
  6. (영어). arXiv:1204.0446.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
  7. Ginsparg, Paul (1988년 11월). “Applied conformal field theory” (영어). Bibcode:1991hep.th....8028G. arXiv:hep-th/9108028. 
  8. Christe, Philippe; Malte Henkel. 《Introduction to Conformal Invariance and Its Applications to Critical Phenomena》. Lecture Notes in Physics Monographs (영어) 16. ISBN 978-3-540-56504-8. doi:10.1007/978-3-540-47575-0. 
  9. (영어). arXiv:9612154 |arxiv= 값 확인 필요 (도움말).  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)

외부 링크[편집]