이징 모형

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통계역학에서, 이징 모형(Ising模型, 영어: Ising model)은 자석의 간단한 격자 모형이다. 이징 모형은 강자성체를 위치가 고정되어 있는 자기 쌍극자의 격자로 나타낸다.[1][2][3][4] 각 쌍극자는 +1 또는 −1 두 개의 상태를 가질 수 있고, 격자 위에서 바로 옆에 있는 쌍극자와 상호 작용한다.

정의[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 유한 그래프 . 그 꼭짓점 집합을 , 변 집합을 라고 표기하자.
  • 함수 ,
  • 함수 ,

그렇다면, 그래프 위의, 자기장 에 대한 이징 모형은 다음과 같은 분배 함수로 정의된다.

여기서 합은 모든 함수

에 대한 것이다.

보통, 상수 함수로 놓는다.

성질[편집]

이징 모형은 다음과 같은 대칭을 갖는다.

(자기장의 한 성분을 뒤집음)

여기서 그래프분리합집합이다.

평면 그래프 쌍대성[편집]

평면 그래프 위의 이징 모형은 그 쌍대 그래프 위의 이징 모형과 동치이다. 이 경우, 의 고온 이징 모형은 의 저온 이징 모형에 대응한다.

특히, 평면 정사각형 격자 그래프 는 스스로와 쌍대이며, 이를 통해 평면 정사각형 격자 그래프의 상전이 온도를 알 수 있다. 마찬가지로, 평면 정육각형 격자 그래프는 평면 정삼각형 격자 그래프와 쌍대이다.

특별한 경우[편집]

특수한 그래프의 경우, 이징 모형의 해를 해석적으로 구할 수 있다.

무변 그래프 (고온 극한)[편집]

만약 개의 꼭짓점을 갖는 무변 그래프라고 하자. 그렇다면,

이다. 이 경우 헬름홀츠 자유 에너지

이다.

즉,

이다.

임의의 그래프 위의 이징 모형에서, 일 때 (즉, 고온 극한) 이는 무변 그래프로 수렴한다.

완전 그래프 (평균장 근사)[편집]

만약 개의 꼭짓점을 갖는 완전 그래프라고 하자. (이 경우를 만약 다른 그래프의 근사로 여길 때 평균장 근사 平均場近似, 영어: mean-field approximation라고 한다.)

편의상, 상수 함수라고 가정하자. 이 경우, +값의 스핀의 수를

으로 적으면,

가 된다. 즉,

이다.

열역학적 극한은

이다. 이 경우, 변수

를 정의하면, 분배 함수는 다음과 같다.

만약 가 하나의 최댓값을 가지는 경우, 이는 라플라스 방법으로 근사할 수 있다. 의 최댓값의 위치는

이므로

이다. 최댓값 근처의 폭은

에 의하여 주어진다. 따라서 분배 함수는

가 된다.

이 경우 평균 스핀은 다음과 같다.

첫째 항만을 남기고, 에 대하여 풀면 상태 방정식

을 얻는다.

이 근사가 잘 성립하려면 (즉, 가 한 점에서 최댓값을 갖는다면), 함수

가 치역의 값 근처에서 단사 함수이어야 한다. 이것이 항상 성립할 필요 충분 조건

이다. 만약 일 경우, 가 충분히 작다면 이 함수는 세 개의 원상을 갖는다. 이 경우, 의 세 개의 임계점 가운데 의 값이 가장 큰 것을 골라야 한다. 물리학적으로, 이는 에서 일어나는 2차 상전이를 나타낸다. 완전 그래프를 강자성체의 평균장 근사로 여길 경우, 이는 퀴리 온도 에 해당한다.[2]:44, (3.2.3)

순환 그래프 (1차원 이징 모형)[편집]

만약 개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프라고 하자. 이 경우

이다. 이는 2×2 대칭 행렬

로 표현될 수 있다. 그렇다면

이다.

만약 상수 함수라면, 모든 들이 같아지며, 이 경우

이 된다. 여기서 , 의 두 (실수) 고윳값이다.

나무 그래프[편집]

유한 나무 그래프 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 어떤 임의의 꼭짓점 을 고르자. 그렇다면 모든 꼭짓점 에 대하여, 까지의 최단 경로의 길이 를 정의할 수 있다. 모든 꼭짓점 에 대하여, 만약 라면,

가 유일하게 존재한다.

그렇다면, 스핀 대신 다음과 같은 새 변수들을 정의할 수 있다.

또한, 임의의

에 대하여,

그렇다면,

변환 아래 다음이 성립한다.

특히, 만약

인 경우 이므로 다음과 같다.

베테 그래프[편집]

나무 그래프 에서 원점 을 골랐을 때, 다음과 같은 꼴이라고 하자.

  • 원점 의 차수는 이다.
  • 원점 에서 거리가 인 모든 꼭짓점의 차수는 이다. (즉, 개의 가지들을 가진다.)
  • 이다. (즉, 모든 꼭짓점은 원점에서 거리 이하이다.)

원점에서 거리 의 꼭짓점 높이

이라고 하자.

예를 들어, 베테 그래프의 경우 이며 의 꼴이다.

이제, 같은 높이에서 균등한 함수

를 생각하자. 즉,

이 존재한다.

이제, 이 그래프 위의 이징 모형의 분배 함수

를 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 재귀적 관계가 성립한다.

편의상 다음과 같은 함수를 정의하자.

그렇다면 이 재귀 관계는 다음과 같다.

만약 , , 상수 함수라면, 이는 에 대한 이산 시간 동역학계

로 여길 수 있다. 극한은 (만약 존재한다면) 이 함수의 고정점에 해당한다.

특히, 만약 일 때 (경로 그래프), 이는 선형 변환에 불과하며, 이 경우 유한한 의 경우에도 풀 수 있다.

연산자 표현[편집]

유한 그래프 가 주어졌으며, 그래프 데카르트 곱

위의 이징 모형을 생각하자. (여기서 은 크기 순환 그래프이다.) 이 경우, 실수 힐베르트 공간

을 정의할 수 있다. 이는 차원 실수 힐베르트 공간이다. 임의의 함수

에 대하여, 기저 벡터

를 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 벡터들은 정규 직교 기저를 이룬다.

각 두 꼭짓점 에 대하여, 연산자

를 정의할 수 있다. 즉, 방향(“시간 방향”)의 변을 생성하며, 방향(“공간 방향”)의 변을 생성한다. 이들은 둘 다 에르미트 연산자를 이룬다.

그렇다면, 그래프 위에서, 상수 함수인 경우, 이징 모형은 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있다.

여기서

이다. 즉,

이다. 이에 따라, 이러한 그래프 위의 이징 모형은 연산자

고윳값을 구하는 것으로 귀결된다.

2차원 격자 그래프[편집]

2차원 이징 모형에서의 자기화

1차원에서는 양의 온도에서 상전이 현상이 일어나지 않는다. (다만, 절대 영도 에서 상전이가 발생하는 것으로 간주할 수 있다.) 하지만 이징 모형은 2차원 이상에서는 상전이가 일어나며, 특히 2차원 이징 모형은 해석적인 해를 구할 수 있다.[5] 그 열역학적 극한은 2차원 등각 장론으로 주어진다.

구체적으로, 다음과 같은 대각선 모양의 격자를 생각하자.

편의상 꼭짓점을 두 색으로 칠하였다. 이 경우, 두 종류의 행들이 있게 된다. 총 개의 행이 있다고 하자. (즉, 개의 ○행과 개의 ●행이 있다.) 각 행의 길이가 이라고 하고, ○행의 꼭짓점을

이라고 하고, ●행의 꼭짓점을

라고 하자.

두 종류의 행에 대응하는 실수 힐베르트 공간을 각각

라고 하자.

이제, 다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다.

이들을 전이 행렬(轉移行列, 영어: transition matrix)이라고 한다. 이를 사용하여 이징 모형의 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.

여기서 의 고윳값들이다. (다만 이는 일반적으로 대칭 행렬이 아니다.) 즉, 분배 함수의 계산은 고윳값들을 계산하는 것으로 귀결된다.

두 힐베르트 공간 사이에 다음과 같은 두 동형 사상을 정의할 수 있다.

물론

이다.

또한, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다.

즉, 이들은 모든 스핀을 뒤집는 연산자이다. 물론

이다.

이제, 이 연산자들은 다음과 같은 성질을 가진다.

[2]:95, (7.4.1)

만약

라면,

이다. 또한, 다음이 성립한다.

[2]:95, (7.4.3)

이다.

이 짝수일 때, 행렬 개의 고윳값들은 다음과 같다. (대칭 행렬이 아니므로, 일부 고윳값들은 복소수이다.)

[2]:109, (7.9.7)
[2]:109, (7.9.8)

여기서

이다. 고윳값에 해당한다.

해석[편집]

이징 모형은 다음과 같이 여러 가지로 해석될 수 있다.

  • 이징 모형은 자석(강자성체)의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 퀴리 온도에서의 상전이에 해당한다.
  • 이징 모형은 반강자성체의 간단한 모형으로 여길 수 있다.
  • 이징 모형은 기체의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 기체와 액체 사이의 상전이에 해당한다.

강자성체[편집]

개의 자기 쌍극자 를 포함하는 강자성체에 (상수 함수가 아닐 수 있는) 외부 자기장 가 걸려 있다고 하자. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향 또는 반평행한 방향 둘 중 하나를 가리킨다고 하자. 또한, 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 위치 에너지 을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 위치 에너지 을 가진다고 하자. 그렇다면, 강자성체의 해밀토니언은 다음과 같다.

여기서 은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 매개변수이고, 은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치 를 나타낸다.

이 경우 볼츠만 분포

이다.

따라서, 이는

인 이징 모형에 해당한다.

반강자성체[편집]

개의 자기 쌍극자 를 포함하는 반강자성체가 주어졌다고 하자. 즉, 서로 이웃하는 스핀이 같은 방향을 가리킬 때 에너지가 이며, 반대 방향을 가리킬 때 에너지가 이라고 하자. 또한, 외부 자기장이 라고 하자. 이 경우, 에너지는

가 된다. 즉, 볼츠만 분포는

가 된다.

이는

가 되는 이징 모형에 해당한다.

기체[편집]

기체 분자 사이의 퍼텐셜의 대략적인 모양 (레너드-존스 퍼텐셜)

기체를 구성하는 분자 사이의 퍼텐셜 은 일반적으로 다음과 같은 특성을 갖는다.

  • 두 입자가 매우 가까울 때, 매우 강한 척력이 작용한다. 즉, 일 때 이다.
  • 두 입자가 매우 가깝지 않을 경우, 인력이 작용한다. 즉, 어떤 거리 근처에서 퍼텐셜 우물이 존재한다. 이 근처에서 퍼텐셜은 음수이다.
  • 두 입자가 매우 멀 경우, 서로 힘을 가하지 않는다. 즉, 일 때 는 0으로 수렴한다.

물론, 일 경우는 이상 기체에 해당한다. 의 퍼텐셜 우물은 기체-액체 상전이를 가능하게 한다.

이제, 그래프 위에 기체 분자들이 놓여 있다고 하자. 이 경우,

  • 인 것은 꼭짓점 에 기체 분자가 하나 존재함을 나타낸다.
  • 인 것은 꼭짓점 에 기체 분자가 없음을 나타낸다.
  • 인 것은 같은 꼭짓점에 기체 분자가 두 개 이상 존재할 수 없음을 나타낸다. 즉, 이다.
  • 에 대응하는 해밀토니언의 항 은 두 입자 사이의 퍼텐셜 우물을 나타낸다.
  • 해밀토니언에서 서로 변으로 연결되어 있지 않은 꼭짓점은 서로 상호 작용하지 않는다. 이는 원거리의 입자가 상호 작용하지 않음을 나타낸다.

즉, 총 분자 수는

이다. 두 분자 사이의 퍼텐셜 우물의 깊이가 이라고 하자. 그렇다면, 총 에너지는

이다. 즉, 큰 바른틀 앙상블의 성분은

이다. 이는

가 되는 이징 모형에 해당한다. 여기서 화학 퍼텐셜이며, 는 꼭짓점 에 연결된 변의 수이다. 특히, 만약 정규 그래프일 경우, 역시 상수 함수가 된다.

크기 를 다양하게 조절할 수 있는 그래프의 족에서, 분배 함수

가 그래프의 크기 에 대한 매끄러운 함수로 주어진다고 하자. 이제, 한 꼭짓점이 나타내는 부피가 라고 할 때, 기체의 압력은

에 해당한다. (여기서 는 대략 퍼텐셜 우물의 위치 의, 그래프 차원 에 대한 거듭제곱이다.) 열역학적 극한 이 잘 정의된다면, 자유 에너지

이어야 한다. 즉, 이 경우

가 된다.

이합체 모형[편집]

2차원 정사각형 격자를 비롯하여, 4차 정규 그래프 위의 이징 모형이합체 모형으로 해석될 수 있다.

역사[편집]

빌헬름 렌츠(독일어: Wilhelm Lenz, 1888〜1957)가 제자 에른스트 이징(독일어: Ernst Ising, 1900〜1998)에게 연습 문제로 제안하였다.[6] 이징은 1925년 박사 학위 논문[7] 에서 1차원 이징 모형에는 상전이가 없다는 사실을 증명하였고, 이를 근거로 임의의 차원의 이징 모형에서 상전이가 없다고 추측하였다. 그러나 1944년에 라르스 온사게르가 2차원 이징 모형에서 상전이가 존재함을 증명하였다.[8][9]

참고 문헌[편집]

  1. 김두철 (1983년 12월 25일). 《상전이와 임계현상》. 민음사. ISBN 89-374-3503-9. 
  2. Baxter, Rodney J. (1982). 《Exactly solved models in statistical mechanics》 (영어). Academic Press. 
  3. Kindermann, Ross; Snell, J. Laurie (1980). 《Random Markov fields and their applications》. Contemporary Mathematics (영어) 1. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3381-2. MR 620955. doi:10.1090/conm/001. 
  4. McCoy, Barry (2010). “Ising model: exact results”. 《Scholarpedia》 5 (7): 10313. doi:10.4249/scholarpedia.10313. 
  5. McCoy, Barry M.; Wu, Tai Tsun (1973). 《The two-dimensional Ising model》. Harvard University Press. ISBN 0-674-91440-6. 
  6. Brush, Stephen G. (1967). “History of the Lenz–Ising Model”. 《Reviews of Modern Physics》 39 (4): 883–893. doi:10.1103/RevModPhys.39.883. 
  7. Ising, Ernst (1925). “Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 31 (1): 253-258. Bibcode:1925ZPhy...31..253I. doi:10.1007/BF02980577. 
  8. Onsager, Lars (1944). “Crystal statistics I: a two-dimensional model with an order-disorder transition”. 《Physical Review》 65 (3–4): 117–149. Bibcode:1944PhRv...65..117O. doi:10.1103/PhysRev.65.117. 
  9. Bhattacharjee, Somendra M.; Khare, Avinash (1995년 11월). “Fifty years of the Exact Solution of the two-dimensional Ising model by Onsager” (PDF). 《Current Science》 69 (10): 816–820. arXiv:cond-mat/9511003. 

외부 링크[편집]