이합체 모형

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통계역학그래프 이론에서, 이합체 모형(二合體模型, 영어: dimer model)은 어떤 그래프 위의 완벽 부합들의 공간 위에 정의되는 통계역학 모형이다.

정의[편집]

이합체 모형[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 유한 그래프
  • 실수 값 함수 . 이를 각 변의 에너지라고 한다.

그렇다면, 완벽 부합들의 집합을

로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 이합체 배치(二合體配置, 영어: dimer configuration)라고 하며, 그래프의 변은 이합체라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다.

수학 물리학
이합체(영어: dimer)
꼭짓점 단량체(영어: monomer)
완벽 부합 이합체 배치
변의 무게(영어: weight) 이합체의 에너지
꼭짓점의 무게(영어: weight) 단량체의 에너지

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

  • 위상 공간완벽 부합의 집합 이다.
  • 임의의 완벽 부합 에너지는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 이다.
  • 온도 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 로 정의되는 기브스 측도이다.

여기서 값 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 이합체 모형이라고 한다.

단량체-이합체 모형[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 유한 그래프
  • 실수 값 함수 . 이를 이합체 에너지(二合體energy, 영어: dimer energy)라고 한다.
  • 실수 값 함수 . 이를 단량체 에너지(單量體energy, 영어: monomer energy)라고 한다.

그렇다면, 부합들의 집합을

로 표기하자.

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

  • 위상 공간부합의 집합 이다.
  • 임의의 부합 에너지는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지들과, 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지들의 합이다.
  • 온도 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 로 정의되는 기브스 측도이다.

여기서 값 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 단량체-이합체 모형(영어: monomer–dimer model)이라고 한다.

성질[편집]

단량체-이합체 모형과 이합체 모형의 관계[편집]

적어도 하나 이상의 완벽 부합을 갖는 유한 그래프 위에서, 만약 단량체 에너지를 무한대로 취할 경우,

단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다.

상관 함수[편집]

유한 그래프 위의 이합체 모형이 주어졌다고 하자. 각 변 에 대하여, 관측 가능량 지시 함수

로 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합

에 대하여, 상관 함수

를 정의할 수 있다. 만약 가 서로 닿는 두 변을 포함한다면,

이다.

보다 일반적으로, 유한 그래프 위의 단량체-이합체 모형이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 변 및 각 꼭짓점 에 대하여 지시 함수 관측 가능량

을 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합

및 꼭짓점 집합

에 대하여, 상관 함수

를 정의할 수 있다. 만약 가 서로 닿는 두 변을 포함하거나, 만약 의 원소가 의 원소와 인접한다면,

이다.

[편집]

피셔 격자

2차원 이징 모형피셔 격자(영어: Fisher lattice)라는 어떤 특별한 평면 삼차 그래프 위의 이합체 모형과 동치이다.[1]:§1 피셔 격자는 정12각형과 정삼각형으로 구성된 평면 테셀레이션의 그래프이다.

구체적으로, 평면의 정사각 격자 그래프에서, 각 꼭짓점

을 나비 모양의 삼차 그래프

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로 치환하여 얻는다. 즉, (45도 회전하여 그린) 사각형 격자의 부분

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╳ ╳
 ╳

은 피셔 격자의 부분

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에 대응한다. 이 경우, 각 꼭짓점에서 완벽 부합은 다음과 같은 8개의 가능한 꼴을 가진다.

피셔 격자의 완벽 부합 평면 이징 모형의 스핀 배열
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(굵게 표현된 변이 완벽 부합에 속하는 변이다.)

즉, 이는 2차원 이징 모형의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을

  • 서로 다른 스핀 사이의 변은 굵게,
  • 서로 같은 스핀 사이의 변은 가늘게

칠한 뒤, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이의 2대 1 대응을 얻는다. (2대 1인 것은 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응하기 때문이다.)

예를 들어, (45도 기울여서 그린) 평면 이징 모형의 상태의 일부분이

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 −   +   +
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   +   −
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    ╱ ╲

와 같은 꼴이라면, 이는 다음과 같은 피셔 격자 완벽 부합에 대응한다.

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참고 문헌[편집]

  1. Kenyon, Richard. 〈The planar dimer model with boundary: a survey〉 (PDF). Baake, Michael; Moody, Robert V. 《Directions in mathematical quasicrystals》. Centre de Recherches Mathématiques Monograph Series (영어) 13. American Mathematical Society. 307–328쪽. ISBN 978-0-8218-2629-4. ISSN 1065-8599. 

외부 링크[편집]