다중로그

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수학에서, 다중로그(多重log, 영어: polylogarithm 폴리로거리듬[*]) 또는 폴리로그로그를 일반화한 특수 함수이다.

역사[편집]

이중로그는 17세기부터 수학계에 등장하기 시작하였다.[1] 존 랜던(영어: John Landen)은 이중로그에 대한 랜던 항등식을 1760년 증명하였다. 레온하르트 오일러닐스 헨리크 아벨은 이중로그에 대한 아벨 항등식을 1826년에 증명하였으나, 이 논문은 사후에 1881년에야 출판되었다.[2]

일반적인 다중로그는 종키에르(프랑스어: A. Jonquière)가 1889년 다루었다.[3] 이 때문에 다중로그는 종키에르 함수라고 불리기도 한다.

정의[편집]

임의의 복소수 인 복소수 에 대하여, 다중로그 는 다음과 같은 급수로 정의된다.

이는 모든 에 대하여 해석적 연속으로 정칙적으로 확장할 수 있다. 이 경우 극점이나 본질적 특이점은 존재하지 않지만, 일부 에서는 분지절단을 갖는다. 이 경우 분지점은 이며, 통상적으로 1 이하의 실수에 대하여 분지절단을 가한다.

인 경우 이중로그(二重log, 영어: dilogarithm), 인 경우 삼중로그(三重log, 영어: trilogarithm) 따위의 이름을 사용한다.

성질[편집]

정의에 따라, 인 경우 다중로그는 단순히 리만 제타 함수이다.

마찬가지로, 인 경우 다중로그는 디리클레 에타 함수이다.

다중로그의 도함수는 낮은 차수의 다중로그로 주어진다. 이는 급수 정의로부터 쉽게 유도된다.

낮은 차수의 다중로그[편집]

1중로그는 다음과 같이 (통상적) 로그로 주어진다. (이 때문에 ‘다중로그’라는 이름이 붙었다.)

도함수 공식을 사용하여, 0 이하의 정수 차수의 다중로그는 다음과 같이 유리 함수임을 증명할 수 있다.

여기서 제2종 스털링 수이다.

적분 표현[편집]

다중로그는 다음과 같은 적분으로 표현할 수 있다. 이러한 적분들은 통계역학에서 보스-아인슈타인 통계페르미-디랙 통계를 다룰 때 등장한다. 보스-아인슈타인 적분 표현은 다음과 같다.

페르미-디랙 적분 표현은 다음과 같다.

참고 문헌[편집]

  1. Maximon, L.C. (2003). “The dilogarithm Function for complex argument”. 《Proceedings of the Royal Society A》 (영어) 459 (2039): 2807–2819. doi:10.1098/rspa.2003.1156. Zbl 1050.33002. 
  2. Abel, N.H. (1881) [1826]. 〈Note sur la fonction (PDF). Sylow, L.; Lie, S. 《Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II》. Christiania: Grøndahl & Søn. 189–193쪽.  |장=에 지움 문자가 있음(위치 22) (도움말)
  3. Jonquière, A. (1889). “Note sur la série . 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 17: 142–152. JFM 21.0246.02.  |title=에 지움 문자가 있음(위치 19) (도움말)

바깥 고리[편집]