다중로그

수학에서 다중로그(多重log, 영어: polylogarithm 폴리로거리듬^[*]) 또는 폴리로그는 로그를 일반화한 특수 함수이다.

역사

이중로그는 17세기부터 수학계에 등장하기 시작하였다. 존 랜던(영어: John Landen)은 이중로그에 대한 랜던 항등식을 1760년 증명하였다. 레온하르트 오일러와 닐스 헨리크 아벨은 이중로그에 대한 아벨 항등식을 1826년에 증명하였으나, 이 논문은 사후에 1881년에야 출판되었다.

일반적인 다중로그는 종키에르(프랑스어: A. Jonquière)가 1889년 다루었다. 이 때문에 다중로그는 종키에르 함수라고 불리기도 한다.

정의

임의의 복소수 $s\in \mathbb {C}$와 $|z|<1$인 복소수 $z\in \mathbb {C}$에 대하여, 다중로그 $\operatorname {Li} _{s}(z)$는 다음과 같은 급수로 정의된다.

$\operatorname {Li} _{s}(z)=z+z^{2}/2^{s}+z^{3}/3^{s}+\dots$

이는 모든 $z\in \mathbb {C}$에 대하여 해석적 연속으로 정칙적으로 확장할 수 있다. 이 경우 극점이나 본질적 특이점은 존재하지 않지만, 일부 $s$에서는 분지절단을 갖는다. 이 경우 분지점은 $z=1$과 $z=\infty$이며, 통상적으로 1 이하의 실수에 대하여 분지절단을 가한다.

$s=2$인 경우 이중로그(二重log, 영어: dilogarithm), $s=3$인 경우 삼중로그(三重log, 영어: trilogarithm) 따위의 이름을 사용한다.

성질

정의에 따라, $z=1$인 경우 다중로그는 단순히 리만 제타 함수이다.

$\operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)$

마찬가지로, $z=-1$인 경우 다중로그는 디리클레 에타 함수이다.

$\operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s)$

다중로그의 도함수는 낮은 차수의 다중로그로 주어진다. 이는 급수 정의로부터 쉽게 유도된다.

$z{\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(z)}{\partial z}}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)$

낮은 차수의 다중로그

1중로그는 다음과 같이 (통상적) 로그로 주어진다. (이 때문에 ‘다중로그’라는 이름이 붙었다.)

$\operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)$

도함수 공식을 사용하여, 0 이하의 정수 차수의 다중로그는 다음과 같이 유리 함수임을 증명할 수 있다.

$\operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{n}{\frac {z}{1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({\frac {z}{1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots )$

여기서 $S(n,k)$는 제2종 스털링 수이다.

적분 표현

다중로그는 다음과 같은 적분으로 표현할 수 있다. 이러한 적분들은 통계역학에서 보스-아인슈타인 통계와 페르미-디랙 통계를 다룰 때 등장한다. 보스-아인슈타인 적분 표현은 다음과 같다.

$\operatorname {Li} _{s}(z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}\,dt\qquad \left(\operatorname {Re} s>0,\;z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty )\right)$

페르미-디랙 적분 표현은 다음과 같다.

$\operatorname {Li} _{s}(-z)=-{\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}\,dt\qquad \left(\operatorname {Re} s>0,\;z\in \mathbb {C} \setminus (-\infty ,-1]\right)$

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Polylogarithm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “폴리로그 함수(polylogarithm)”. 《수학노트》. 
• 이철희. “다이로그 함수(dilogarithm)”. 《수학노트》.