에너지 조건

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일반 상대성 이론에서, 에너지 조건(energy條件, 영어: energy condition)은 물리적으로 "현실적인" 시공간리치 곡률이 만족시켜야 한다고 가정할 수 있는 여러 조건 가운데 하나이다.[1]:§4.3[2]:174–177[3][4] 아인슈타인 방정식에 따라 시공간의 리치 곡률은 그 위에 존재하는 물질의 에너지-운동량 텐서로 주어지므로, 이는 물리적으로 "현실적인" 물질에 대한 조건으로도 볼 수 있다.

정의[편집]

−+++ 계량 부호수를 사용하자. 시공간 위에 에너지-운동량 텐서 가 주어졌다고 하자. 또한, 시공간은 시간 방향(time orientation)이 주어져 있다고 하자. 따라서, 모든 벡터를 미래 방향 시간꼴 벡터 · 과거 방향 시간꼴 벡터 · 미래 방향 영벡터 · 과거 방향 영벡터 · 공간꼴 벡터로 분류할 수 있다. 또한, 에너지-운동량 텐서의 대각합 을 정의하자. 그렇다면, 흔히 사용되는 5가지의 에너지 조건은 다음과 같다.[2]:175

  • 영벡터 에너지 조건(零vector energy條件, 영어: null energy condition, 약자 NEC)에 따르면, 모든 미래 방향 영벡터는 다음 조건을 만족시킨다.
즉, 빛의 속력으로 움직이는 (무질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.
  • 약한 에너지 조건(弱-energy條件, 영어: weak energy condition, 약자 WEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 는 다음 조건을 만족시킨다.
즉, 빛의 속력보다 느리게 움직이는 (유질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.
  • 영벡터 우세 에너지 조건(零vector優勢energy條件, 영어: null dominant energy condition, 약자 NDEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 영벡터장 에 대하여, 는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 두 번째 조건에 따르면, 빛의 속도로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 이 조건은 우세 에너지 조건과 유사하나, 음의 우주 상수를 허용한다.[2]:175
  • 우세 에너지 조건(優勢energy條件, 영어: dominant energy condition, 약자 DEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장 에 대하여, 는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 조건 ②에 따르면, 빛의 속력 이하로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 조건 ②에 따르면, 등방 물질의 경우 압력이 항상 에너지 밀도보다 작아야 한다. 이는 물질에서 음속이 빛의 속력보다 더 작아야 하는 조건이다.[1]:91
  • 강한 에너지 조건(強-energy條件, 영어: strong energy condition, 약자 SEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 는 다음 조건을 만족시킨다.

즉, 강한 에너지 조건을 제외한 에너지 조건들은 다음과 같다.

영벡터 에너지 조건 약한 에너지 조건 영벡터 우세 에너지 조건 우세 에너지 조건
영벡터 에 대하여, O O O O
시간꼴 벡터 에 대하여, X O O O
미래 영벡터 에 대하여, 는 미래 시간꼴 또는 영벡터 X X O O
미래 시간꼴 벡터 에 대하여, 는 미래 시간꼴 또는 영벡터 X X X O

평균 에너지 조건[편집]

위 에너지 조건들은 각 점마다 성립 여부를 결정할 수 있다. 그러나 이 조건들을 약화시켜, 주어진 세계선의 적분에 관한 에너지 조건들을 정의할 수 있다. 이들을 평균 에너지 조건(平均energy條件, 영어: averaged energy conditions)이라고 한다.[4]:§2.2 (평균이 아닌 에너지 조건들은 양자 역학 효과에 의하여 미세하게 위배될 수 있지만, 평균 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 성립할 가능성이 더 높다고 여겨진다.)

시공간 에서, 매끄러운 곡선 가운데, 임의의 에 대하여 속력 이 미래 방향 시간꼴인 곡선들의 집합을 로 표기하자. 마찬가지로, 속력이 항상 미래 방향 영벡터인 곡선들의 집합을 로 표기하자.

  • 평균 영벡터 에너지 조건(平均零vector energy條件, 영어: averaged null energy condition, 약자 ANEC)에 따르면, 모든 는 다음 조건을 만족시킨다.
  • 평균 약한 에너지 조건(平均弱-energy條件, 영어: averaged weak energy condition, 약자 AWEC)에 따르면, 모든 는 다음 조건을 만족시킨다.

성질[편집]

인과 관계[편집]

이들 사이의 인과 관계는 다음과 같다. 여기서 XYXY를 함의함을 뜻한다.

DEC NDEC WEC NEC
SEC

이름과 달리, 강한 에너지 조건(SEC)은 약한 에너지 조건(WEC)을 함의하지 않는다.

이상 유체[편집]

에너지 밀도 , 압력 를 가진 이상 유체

의 경우 위 조건들은 다음과 같다.[2]:176

  • 영벡터 에너지 조건:
  • 약한 에너지 조건: ,
  • 영벡터 우세 에너지 조건: 또는
  • 우세 에너지 조건:
  • 강한 에너지 조건: ,

함의 관계[편집]

일반 상대성 이론에서, 시공간의 다양한 성질들을 증명하기 위해서는 대개 일종의 에너지 조건이 필요하다. 각종 주요 정리들을 증명하기 위해 필요한 에너지 조건들은 다음과 같다.[4]:§3.1

  • 영벡터 에너지 조건:
  • 약한 에너지 조건:
    • 블랙홀 열역학의 제3 법칙 (블랙홀의 표면 중력을 유한한 시간 안에 0으로 만들 수 없음)
    • 공간의 위상은 변할 수 없음
  • 우세 에너지 조건:

위배[편집]

질량을 갖는 스칼라장(클레인-고르돈 방정식)은 (고전적으로) 강한 에너지 조건을 위배할 수 있다.[4]:§3.2

양자 역학적 효과는 심지어 영벡터 에너지 조건도 위배할 수 있다고 생각된다.[3] 그러나 각종 평균화 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 비교적 안전하다고 여겨진다.

참고 문헌[편집]

  1. Hawking, Stephen; Ellis, George Francis Rayner (1973). 《The large scale structure of space-time》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. 
  2. Carroll, Sean M. (2003). 《Spacetime and geometry: an introduction to general relativity》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805387323. 
  3. Visser, Matt; Barcelo, Carlos (2000년 9월). 〈Energy conditions and their cosmological implications〉. Cotti, U.; Jeannerot, R.; Senjanovi, G.; Smirnov, A. 《COSMO-99: proceedings of the Third International Workshop on Particle Physics and the Early Universe, ICTP, Trieste, Italy, 27 September – 2 October 1999》 (영어). World Scientific. 98–112쪽. arXiv:gr-qc/0001099. Bibcode:2000ppeu.conf...98V. doi:10.1142/9789812792129_0014. ISBN 978-981-02-4456-9. 
  4. Curiel, Erik (2017). 〈A primer on energy conditions〉. Lehmkuhl, Dennis; Schiemann, Gregor; Scholz, Erhard. 《Towards a theory of spacetime theories》. Einstein Studies (영어) 13. Birkhäuser. arXiv:1405.0403. Bibcode:2014arXiv1405.0403C. doi:10.1007/978-1-4939-3210-8. ISBN 978-1-4939-3209-2. ISSN 2381-5833.