유한 생성 가군

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환론에서, 유한 생성 가군(有限生成加群, 영어: finitely generated module)은 유한 계수의 자유 가군몫가군이다. 즉, 유한 개의 생성원과 (유한 또는 무한 개의) 관계로 나타내어지는 가군이다.[1]

정의[편집]

모든 은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

유한 생성 가군[편집]

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군유한 생성 왼쪽 가군(有限生成-加群, 영어: finitely generated left module)이라고 한다.

  • (A) 이 되는 자연수 자유 가군의 부분 가군 이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 에 대하여, -왼쪽 가군완전열 이 존재한다.
  • (B) 의 임의의 부분 가군들의 집합 , 에 대하여, 만약 이라면, 이 되는 유한 집합 가 존재한다.
  • (C) 임의의 부분 가군의 오름 사슬 에 대하여, 만약 이라면, 이 되는 가 존재한다.
  • (D) 임의의 집합 전사 사상 에 대하여, 역시 전사 사상이 되게 하는 유한 집합 이 존재한다. (가군범주에서 전사 사상전사 함수가군 준동형과 일치한다.)

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군유한 쌍대 생성 왼쪽 가군(有限雙對生成-加群, 영어: finitely cogenerated left module)이라고 한다.

  • (B′) 의 임의의 부분 가군들의 집합 , 에 대하여, 만약 이라면, 이 되는 유한 집합 가 존재한다.
  • (C′) 임의의 부분 가군의 내림 사슬 에 대하여, 만약 이라면, 이 되는 가 존재한다.
  • (D′) 임의의 집합 단사 사상 에 대하여, 역시 단사 사상이 되게 하는 유한 집합 이 존재한다. (가군범주에서 단사 사상단사 함수가군 준동형과 일치한다.)

오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 유한 생성 오른쪽 가군유한 쌍대 생성 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

조건 (B) 및 (C) 및 (B′) 및 (C′)은 환 에 의존하지 않으므로, 유한 생성성 및 유한 쌍대 생성성은 모리타 동치 불변 성질이다. 특히, 정의 (B) 및 (B′)은 일반위상수학콤팩트 공간의 정의와 유사하다. (C) 및 (C′)은 각각 특정 사슬 (즉, 합이 전체 가군이 되는 오름 사슬 · 교집합이 영가군이 되는 내림 사슬)에 대한 오름 사슬 조건 · 내림 사슬 조건이며, 이를 모든 사슬에 대하여 일반화한다면 뇌터 가군 · 아르틴 가군의 개념을 얻는다.

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군유한 표시 왼쪽 가군(有限表示-加群, 영어: finitely presented left module)이라고 한다.

  • 가 되는 자연수 -가군 준동형 이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 에 대하여, -왼쪽 가군완전열 이 존재한다.
  • 전사 사상이 되는 자연수 이 존재하며, 전사 사상이 되는 모든 자연수 에 대하여, 은 유한 생성 가군이다.

(이 두 조건이 서로 동치라는 것은 섀뉴얼 보조정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.)

유한 생성 가군층[편집]

유한 생성 가군과 유한 표시 가군의 개념은 가군층으로 일반화할 수 있다.

유한 생성 가군의 일반화는 유한 생성 가군층(有限生成加群層, 영어: finitely generated sheaf of modules) 또는 유한형 가군층(有限型加群層, 영어: sheaf of modules of finite type, 프랑스어: faisceau de modules de type fini)이라고 한다. 구체적으로, 환 달린 공간 가 주어졌다고 하자. -가군층 가 다음 조건을 만족시킨다면 유한 생성 가군층이라고 한다.[2]:161, Definition 5.1.10[3]:207, Définition §2.1[4]:45, (5.2.1)

  • 임의의 에 대하여, 층의 완전열 이 존재하게 되는 열린 근방 자연수 이 존재한다.

유한 표시 가군의 일반화는 유한 표시 가군층(有限表示加群層, 영어: finitely presented sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules admettant une présentation finie)이라고 한다. 구체적으로, 환 달린 공간 위의 -가군층 가 다음 조건을 만족시킨다면 유한 표시 가군층이라고 한다.[4]:46, (5.2.5)

  • 임의의 에 대하여, 층의 완전열 이 존재하게 되는 열린 근방 자연수 가 존재한다.

유한 생성 가군/유한 표시 가군의 정의에 등장하는 자연수 을 임의의 기수로 일반화한다면, 각각 국소 단면 생성 가군층(영어: sheaf of modules locally generated by sections)/준연접층의 개념을 얻는다. (물론, 모든 가군은 이렇게 정의된 개념들을 자동적으로 만족시킨다. 즉, 모든 가군은 준연접층을 정의한다.)

아벨 범주에서의 유한 생성 대상[편집]

보다 일반적으로, 아벨 범주 의 대상 이 다음 조건을 만족시킨다면, 유한 생성 대상(有限生成對象, 영어: finitely generated object)이라고 한다.[5]:315, Chapter 5[6]:352, §1

  • 부분 대상 부분 순서 집합 속의 상향 부분 집합 에 대하여, 만약 이라면, 가 존재한다.

아벨 범주 의 유한 생성 대상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 유한 표시 대상(有限表示對象, 영어: finitely presented object)이라고 한다.[5]:315, Chapter 5[6]:352, §1

  • 임의의 유한 생성 대상 전사 사상 에 대하여, 는 유한 생성 대상이다.

유한 스킴 사상[편집]

대수기하학에서, 유한 생성 가군의 개념은 다음과 같은 형태로 사용된다.

가환환 사이의 환 준동형 가 주어졌을 때, 를 통해 -가군을 이룬다. 만약 -유한 생성 가군이라면, 유한 준동형(有限準同型, 영어: finite homomorphism)이라고 한다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 가 주어졌다고 하자. 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 가 존재한다면, 유한 사상(有限寫像, 영어: finite morphism, 프랑스어: morphisme fini)이라고 한다.[7]:84

  • 원상 아핀 스킴 이며, 위의 유한 생성 가군을 이룬다.

두 가환환 사이의 환 준동형 가 유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 가환 결합 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

성질[편집]

가군 극대 부분 가군 전체가 아닌 부분 가군 가운데 극대 원소인 것이다. 마찬가지로, 극소 부분 가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소인 것이다 (즉, 단순 가군부분 가군이다). 초른의 보조정리에 의하여, 다음이 성립한다.

  • 0이 아닌 모든 유한 생성 가군은 극대 부분 가군을 갖는다.
  • 0이 아닌 모든 유한 쌍대 생성 가군은 극소 부분 가군을 갖는다.

반단순 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 유한 생성 가군이다.
  • 유한 쌍대 생성 가군이다.

유한 생성 가군의 모든 몫가군은 유한 생성 가군이다. 유한 쌍대 생성 가군의 모든 부분 가군은 유한 쌍대 생성 가군이다.

왼쪽 가군짧은 완전열

에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 만약 이 유한 생성 가군이라면 역시 유한 생성 가군이다.
  • 만약 이 유한 쌍대 생성 가군이라면 역시 유한 쌍대 생성 가군이다.

가군 성질의 필요 충분 조건[편집]

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 뇌터 가군이다.
  • 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다.

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

임의의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 이 유한 생성 가군이다.
  • 근기 잉여적 부분 가군이며, 은 유한 생성 가군이다.

임의의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 이 유한 쌍대 생성 가군이다.
  • 주각 본질적 부분 가군이자 유한 생성 가군이다.

[편집]

정수환 위의 유한 생성 가군은 유한 생성 아벨 군과 같은 개념이다.

임의의 체 에 대하여, 환 준동형

을 생각하자. 그렇다면 위의 유한 생성 가군을 이룬다. 즉, 이로부터 유도되는 아핀 스킴 사상

는 유한 사상이다.

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. 
  2. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. 번역 Erne, Reinie 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 
  3. Serre, Jean-Pierre (1955). “Faisceaux algébriques cohérents” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (프랑스어) 61 (2): 197–278. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969915. MR 0068874. doi:10.2307/1969915. 
  4. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4. ISSN 0073-8301. MR 0217083. doi:10.1007/bf02684778. 
  5. Prest, Mike (1988). 《Model theory and modules》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 130. Cambridge University Press. ISBN 978-0-52134833-1. doi:10.1017/CBO9780511600562. 
  6. Stenström, Bo (1968년 3월). “Purity in functor categories”. 《Journal of Algebra》 (영어) 8 (3): 352–361. doi:10.1016/0021-8693(68)90064-1. 
  7. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 

외부 링크[편집]