환 달린 공간

수학에서 환 달린 공간(環달린空間, 영어: ringed space)은 간단히 말하면 각 열린집합마다 가환환이 달려 있어서, 그 환의 각 원소들을 열린집합 위의 일종의 함수로 볼 수 있는 공간이다. 이는 해석학 전반에서 널리 쓰이는 개념이며, 대수기하학에서 스킴을 정의하기 위해서도 사용된다.

정의[편집]

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 은 위상 공간 $X$ 와 그 위의 가환환의 층 ${\mathcal {O}}_{X}$ 의 순서쌍이다. ${\mathcal {O}}_{X}$ 를 $X$ 의 구조층(構造層, 영어: structure sheaf)라고 한다.

두 환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ 사이의 사상(寫像, 영어: morphism of ringed spaces) $(f,f^{\#})$ 은 다음과 같은 순서쌍이다.

$f\colon X\to Y$ 는 연속 함수이다.
$f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ 는 가환환의 층의 사상이다. 구체적으로, $X$ 의 각 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, $f_{U}^{\#}\colon O_{Y}(U)\to O_{X}(f^{-1}(U))$ 는 환 준동형이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.

국소환 달린 공간[편집]

국소환 달린 공간(局所環달린空間, 영어: locally ringed space)은 구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이다. (각 열린집합 $U$ 에 대해 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ 가 국소환일 필요는 없다.)

두 국소환 달린 공간 사이의 사상(寫像, 영어: morphism of locally ringed spaces) $(f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ 은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $f^{\#}$ 로 인하여 유도되는 줄기 사이의 환 준동형 ${\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}$ 아래, ${\mathcal {O}}_{X,x}$ 의 유일한 극대 아이디얼의 원상은 ${\mathcal {O}}_{Y,f(x)}$ 의 유일한 극대 아이디얼과 같다.

열린 몰입[편집]

환 달린 공간 사상 $(f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 열린 몰입(영어: open immersion)이라고 한다.

$f$ 의 치역 $f(X)$ 은 열린집합이며, $f$ 는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
$f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ 이 층의 동형 사상 ${\mathcal {O}}_{Y}|_{f(X)}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ 을 유도한다.

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 및 $X$ 의 열린집합 $U\subseteq X$ 가 주어졌을 때, $(U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})$ 는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상 $(U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})\to (X,{\mathcal {O}}_{X})$ 은 열린 몰입을 이룬다. 만약 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 가 국소환 달린 공간이라면 $(U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})$ 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역에 따라 결정된다.

닫힌 몰입[편집]

환 달린 공간 사상 $(f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 닫힌 몰입(영어: closed immersion)이라고 한다.

$f$ 의 치역은 닫힌집합이며, $f$ 는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
$f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ 는 가환환 값의 층의 전사 사상이다. 즉, 모든 줄기 사상 ${\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}$ 은 전사 함수이다.

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 아이디얼 층 ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 지지 집합 $\operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X$ 은 닫힌집합이다. $\operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X$ 위의 몫층 ${\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ 을 정의할 수 있으며, $(\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})\to ({\mathcal {X}},{\mathcal {O}}_{X})$ 는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 가 국소환 달린 공간이라면 $(\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})$ 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합인 닫힌집합에 의하여 결정되지 않는다.

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

환 달린 공간 ⊋ 국소환 달린 공간 ⊋ 스킴 ⊋ 아핀 스킴

범주론적 성질[편집]

환 달린 공간의 범주 $\operatorname {RingSp}$ 와 국소환 달린 공간의 범주 $\operatorname {LocRingSp}$ 는 둘 다 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.^[1]

$\operatorname {LocRingSp}$ 는 $\operatorname {RingSp}$ 의 충만한 부분 범주가 아니지만, 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

\operatorname {LocRingSp} \hookrightarrow \operatorname {RingSp}

는 오른쪽 수반 함자를 가진다.^[1]^{:Corollary 6}

예[편집]

모든 스킴은 국소환 달린 공간이다.

국소 유클리드 공간 $M$ 위에 실수 값의 연속 함수의 층 ${\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} )$ 을 부여한다면, $(M,{\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} ))$ 은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 매끄러운 다양체 $M$ 위에 실수 값의 매끄러운 함수의 층 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ 을 부여한다면, $(M,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ))$ 은 국소환 달린 공간을 이룬다.