환 달린 공간

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수학에서, 환 달린 공간(環달린空間, 영어: ringed space)은 간단히 말하면 각 열린집합마다 가환환이 달려 있어서, 그 환의 각 원소들을 열린집합 위의 일종의 함수로 볼 수 있는 공간이다. 이는 해석학 전반에서 널리 쓰이는 개념이며, 대수기하학에서 스킴을 정의하기 위해서도 사용된다.

정의[편집]

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)위상 공간 X와 그 위의 가환환 \mathcal O_X순서쌍이다. \mathcal O_XX구조층(構造層, 영어: structure sheaf)라고 한다.

두 환 달린 공간 (X,\mathcal O_X), (Y,\mathcal O_Y) 사이의 사상(寫像, 영어: morphism of ringed spaces) (f,f^\#)은 다음과 같은 순서쌍이다.

국소환 달린 공간[편집]

국소환 달린 공간(局所環달린空間, 영어: locally ringed space)은 구조층의 모든 줄기국소환인 환 달린 공간이다. (각 열린집합 U에 대해 \mathcal O_X(U)가 국소환일 필요는 없다.)

두 국소환 달린 공간 사이의 사상(寫像, 영어: morphism of locally ringed spaces) (f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.

열린 몰입[편집]

환 달린 공간 사상 (f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 열린 몰입(영어: open immersion)이라고 한다.

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)X열린집합 U\subseteq X가 주어졌을 때, (U,\mathcal O_X|_U)는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상 (U,\mathcal O_X|_U)\to(X,\mathcal O_X)은 열린 몰입을 이룬다. 만약 (X,\mathcal O_X)가 국소환 달린 공간이라면 (U,\mathcal O_X|_U) 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역에 따라 결정된다.

닫힌 몰입[편집]

환 달린 공간 사상 (f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 닫힌 몰입(영어: closed immersion)이라고 한다.

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위의 아이디얼 층 \mathcal I\subseteq\mathcal O_X이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 지지 집합 \operatorname{supp}\mathcal I\subseteq X닫힌집합이다. \operatorname{supp}\mathcal I\subseteq X 위의 몫층 \mathcal O_X/\mathcal I을 정의할 수 있으며, (\operatorname{supp}\mathcal I,\mathcal O_X/\mathcal I)\to(\mathcal X,\mathcal O_X)는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약 (X,\mathcal O_X)가 국소환 달린 공간이라면 (\operatorname{supp}\mathcal I,\mathcal O_X/\mathcal I) 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합닫힌집합에 의하여 결정되지 않는다.

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

환 달린 공간 ⊋ 국소환 달린 공간 ⊋ 스킴아핀 스킴

범주론적 성질[편집]

환 달린 공간의 범주 \operatorname{RingSp}와 국소환 달린 공간의 범주 \operatorname{LocRingSp}는 둘 다 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.[1]

\operatorname{LocRingSp}\operatorname{RingSp}충만한 부분 범주가 아니지만, 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

\operatorname{LocRingSp}\hookrightarrow\operatorname{RingSp}

오른쪽 수반 함자를 가진다.[1]:Corollary 6

[편집]

모든 스킴은 국소환 달린 공간이다.

국소 유클리드 공간 M 위에 실수 값의 연속 함수의 층 \mathcal C^0(M;\mathbb R)을 부여한다면, (M,\mathcal C^0(M;\mathbb R))은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 매끄러운 다양체 M 위에 실수 값의 매끄러운 함수의 층 \mathcal C^\infty(M;\mathbb R)을 부여한다면, (M,\mathcal C^\infty(M;\mathbb R))은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 복소다양체 M 위에 복소수 값의 정칙 함수의 층 \mathcal O_M을 부여한다면, (M,\mathcal O_M)은 국소환 달린 공간을 이룬다.

참고 문헌[편집]

  1. Gilliam, W. D. (2011). “Localization of ringed spaces” (영어). arXiv:1103.2139. Bibcode:2011arXiv1103.2139G. 

바깥 고리[편집]