부분 대상 분류자

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범주론에서, 부분 대상 분류자(部分對象分類子, 영어: subobject classifier)는 주어진 대상의 각각의 부분 대상들을, 특정한 대상 로 가는 사상에 대응시킬 수 있도록 하는 구조이다. 집합론에서의 지시 함수의 개념을 일반화한 것으로, 부분 대상 분류자는 임의의 토포스에서 항상 존재한다.

정의[편집]

범주 끝 대상 을 갖는다고 하자. 부분 대상 분류자는 다음 조건을 만족시키는, 대상 및 사상 의 순서쌍이다. (대상 는 문헌에 따라 로 표기하기도 한다.)

  • 모든 단사 사상 에 대하여, 당김이 되는 사상 이 유일하게 존재한다.

여기서 사상 지시 사상(영어: indicator morphism)이라고 한다.

유한 완비 범주 속의 대상 및 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 강한 부분 대상 분류자(強-部分對象分類子, 영어: strong subobject classifier)라고 한다.

  • 모든 강한 단사 사상 에 대하여, 당김이 되는 사상 이 유일하게 존재한다.

강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상부분 대상이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

모든 토포스는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 준토포스는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.

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각종 토포스에서, 부분 대상 분류자의 예는 다음과 같다.

토포스 부분 대상 분류자
집합의 토포스 두 개의 원소를 가진 집합
유한 집합의 토포스 두 개의 원소를 가진 집합
위상 공간 위의 (집합) 의 토포스 열린집합 에 대하여, 열린 부분 집합들의 층
작은 범주 위의 준층의 토포스 대상 에 대하여, 위의 모든 들의 집합의 준층
토포스 및 대상 에 대하여, 의 부분 대상 분류자 에 대하여, 사영

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]