부분 대상 분류자

범주론에서 부분 대상 분류자(部分對象分類子, 영어: subobject classifier)는 주어진 대상의 각각의 부분 대상들을, 특정한 대상 $2$ 로 가는 사상에 대응시킬 수 있도록 하는 구조이다. 집합론에서의 지시 함수의 개념을 일반화한 것으로, 부분 대상 분류자는 임의의 토포스에서 항상 존재한다.

정의[편집]

범주 ${\mathcal {C}}$ 가 끝 대상 $1$ 을 갖는다고 하자. ${\mathcal {C}}$ 의 부분 대상 분류자는 다음 조건을 만족시키는, 대상 $2$ 및 사상 $\top \colon 1\to 2$ 의 순서쌍이다. (대상 $2$ 는 문헌에 따라 $\Omega$ 로 표기하기도 한다.)

모든 단사 사상 $\iota \colon X\hookrightarrow Y$ 에 대하여, $Y{\xleftarrow {\iota }}X\to 1$ 이 $Y{\xrightarrow {\chi _{\iota }}}2{\xleftarrow {\top }}1$ 의 당김이 되는 사상 $\chi _{\iota }\colon Y\to 2$ 이 유일하게 존재한다.

여기서 사상 $\chi _{\iota }$ 를 $\iota$ 의 지시 사상(영어: indicator morphism)이라고 한다.

유한 완비 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상 $2$ 및 사상 $\top \colon 1\to 2$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $(2,\top )$ 을 강한 부분 대상 분류자(強-部分對象分類子, 영어: strong subobject classifier)라고 한다.

모든 강한 단사 사상 $\iota \colon X\hookrightarrow Y$ 에 대하여, $Y{\xleftarrow {\iota }}X\to 1$ 이 $Y{\xrightarrow {\chi _{\iota }}}2{\xleftarrow {\top }}1$ 의 당김이 되는 사상 $\chi _{\iota }\colon Y\to 2$ 이 유일하게 존재한다.

강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상은 부분 대상이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

모든 토포스는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 준토포스는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.

예[편집]

각종 토포스에서, 부분 대상 분류자의 예는 다음과 같다.

토포스	부분 대상 분류자
집합의 토포스 $\operatorname {Set}$	두 개의 원소를 가진 집합 $\{\bullet _{1},\bullet _{2}\}$
유한 집합의 토포스 $\operatorname {FinSet}$	두 개의 원소를 가진 집합 $\{\bullet _{1},\bullet _{2}\}$
위상 공간 $(X,{\mathcal {U}})$ 위의 (집합) 층의 토포스 $\operatorname {Sh} (X)$	열린집합 $V\subset X$ 에 대하여, 열린 부분 집합들의 층 ${\mathcal {U}}(V)=\{U\cap V\|U\in {\mathcal {U}}\}$
작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 준층의 토포스 $\operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$	대상 $C\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, $C$ 위의 모든 체들의 집합의 준층 $\operatorname {Sieve} (C)$
토포스 ${\mathcal {T}}$ 및 대상 $X\in {\mathcal {T}}$ 에 대하여, ${\mathcal {T}}/X$	${\mathcal {T}}$ 의 부분 대상 분류자 $2_{\mathcal {T}}\in {\mathcal {T}}$ 에 대하여, 사영 $\operatorname {proj} _{2}\colon 2_{\mathcal {T}}\times X\twoheadrightarrow X$