사유한군

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수학에서, 사유한군(射有限群, 영어: profinite group)은 유한군사영극한으로 얻어지는 위상군이다.

정의[편집]

사유한군하우스도르프 콤팩트 위상군 가운데, 모든 연결 부분 집합이 하나 이하의 원소를 갖는 경우다. 즉, 스톤 공간위상군이다.

이 조건은 이 위상군이산 유한군들의 사영극한(projective/inverse limit)과 동형이어야 한다는 조건과 동치이다.

사유한 완비[편집]

임의의 사유한 완비(射有限完備 영어: profinite completion) 는 다음과 같다.

즉, 의 모든 정규 부분군 에 대한 몫군들의 사영극한이다. 는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형 가 존재하며, 이 준동형의 조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 사상이 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비 연산은 멱등이 아니다. 즉, 일 수 있다.

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  • 모든 이산 유한군은 사유한군이다.
  • p진 정수 는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 들의 사영극한으로 정의된다.
  • 사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 가 주어지면 를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 들의 사영극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.[1]
  • 대수기하학에탈 기본군 (étale fundamental group)은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

성질[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Waterhouse, William C. (1974). “Profinite groups are Galois groups”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) (American Mathematical Society) 42 (2): 639–640. doi:10.2307/2039560. JSTOR 2039560. Zbl 0281.20031. 
  • Fried, Michael D.; Moshe Jarden (2008). 《Field arithmetic》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge (영어) 11 3판. Springer. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001. 
  • Nikolov, Nikolay; Dan Segal (2006). “On finitely generated profinite groups. I. strong completeness and uniform bounds” (영어). arXiv:math/0604399. 
  • Nikolov, Nikolay; Dan Segal (2006). “On finitely generated profinite groups. II. products in quasisimple groups” (영어). arXiv:math/0604400. 
  • Serre, Jean-Pierre (1994). 《Cohomologie galoisienne》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 5 5판. Springer. ISBN 978-3-540-58002-7. MR 1324577. Zbl 0812.12002.