에탈 기본군

대수기하학에서 에탈 기본군(étale基本群, 영어: étale fundamental group)은 대수다양체와 스킴에 대하여 정의되는 기본군이다.

정의

에탈 기본군은 대수적 위상수학과 갈루아 이론 사이의 다음과 같은 대응성으로부터 출발하며, 이 둘을 대수기하학적으로 일반화하여 공통적으로 다룬다.

대수적 위상수학	갈루아 이론	대수기하학
피복 공간 $\pi \colon Y\twoheadrightarrow X$	분해 가능 확대 $Y/X$	유한 에탈 사상 $\pi \colon Y\to X$
범피복 공간	분해 가능 폐포	유한 에탈 사상들의 범주 $\operatorname {fin{\acute {E}}t} /X$
기본군	절대 갈루아 군	에탈 기본군

연결 스킴 $X$ 의 기하점(영어: geometric point) $x\in X$는 $x$에서의 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$의 잉여류체를 포함하는 분해 가능 폐포 $K$이다. 즉, 다음과 같은 사상

${\mathcal {O}}_{X,x}\twoheadrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}({\mathcal {O}}_{X,x})\hookrightarrow K$

를 합성하여, 사상 $x\colon \operatorname {Spec} (K)\to X$를 정의할 수 있다. 이는 $X$ 속의, $K$ 값의 좌표를 갖는 점으로 여긴다.

$X$를 공역으로 하는 유한 에탈 사상들의 범주를 $\operatorname {fin{\acute {E}}t} /X$라고 쓰자. (에탈 코호몰로지와 달리, 여기에 그로텐디크 위상을 정의할 필요가 없다.) 그렇다면, 스킴 사상 $Y\to X$ 및 $X$의 기하점 $x\colon \operatorname {Spec} K\to X$이 주어졌을 때, 기하올(영어: geometric fibre) $Y\times _{X}\operatorname {Spec} K$을 스킴의 범주의 올곱으로 정의할 수 있으며, 에탈 사상의 정의에 따라서 이는 어떤 자연수 $n$에 대하여 $(\operatorname {Spec} K)^{\sqcup n}$와 동형이다.

따라서, 밑점이 주어졌을 때, 다음과 같은 요네다 매장을 생각하자.

$\operatorname {fin{\acute {E}}t} /X\to \operatorname {Set}$

$Y\mapsto |Y\times _{X}x|=\hom _{\operatorname {fin{\acute {E}}t} /X}(x,Y)$

이는 기하학적으로 $\pi \colon Y\to X$를 그 원상 “$\pi ^{-1}(x)$”에 대응시킨다. 이들 집합들은 사상에 따라 사영계(영어: projective system)를 이룬다. 따라서 다음과 같은 역극한을 취할 수 있으며, 이를 $X$의 밑점 $x$에서의 에탈 기본군이라고 한다.

$\pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(X,x)=\varprojlim _{i}\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})$

이는 유한군의 역극한이므로, 사유한군을 이룬다. 또한, 이 요네다 함자에 의하여 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

$\operatorname {fin{\acute {E}}t} /X\simeq \pi _{1}(X,x){\text{-Set}}$

여기서, 범주 $G{\text{-Set}}$는 $G$의 작용을 갖는 집합들의 범주이다.

예

체의 에탈 기본군

체 $K$가 주어졌을 때, $\operatorname {Spec} K$의 밑점 $x$는 $K$의 분해 가능 폐포 $K^{\operatorname {sep} }\subset {\bar {K}}$과 대응한다. (모든 분해 가능 폐포들은 서로 동형이지만, 표준적으로 동형이지 못하다.) 이 경우, 밑점 $K^{\operatorname {sep} }$에서의 에탈 기본군은 $K$의 절대 갈루아 군과 동형이다.

$\pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(\operatorname {Spec} K,K^{\operatorname {sep} })\cong \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)$

복소 대수다양체의 에탈 기본군

복소 유한형 스킴 $X\to \operatorname {Spec} \mathbb {C}$의 에탈 기본군은 그 복소해석공간 $X^{\operatorname {an} }$의 (대수적 위상수학적) 기본군의 사유한 완비이다.

$\pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(X,x)\cong {\hat {\pi }}_{1}(X^{\operatorname {an} },x^{\operatorname {an} })$

역사

알렉산더 그로텐디크가 《마리 숲 대수 기하학 세미나》(영어: Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie, SGA) 1권에서 정의하였다.

참고 문헌

• Murre, J. P. (1967), 《Lectures on an introduction to Grothendieck's theory of the fundamental group》, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0302650 
• Tamagawa, Akio (1997), “The Grothendieck conjecture for affine curves”, 《Compositio Mathematica》 109 (2): 135–194, doi:10.1023/A:1000114400142, MR 1478817 

같이 보기

• 에탈 코호몰로지

외부 링크

• “Algebraic fundamental group”. 《nLab》 (영어).