동등자

수학에서 동등자(同等子, 영어: equalizer)는 여러 함수들이 같은 값을 갖게 되는, 정의역의 부분집합이다.

정의

집합의 범주에서의 정의

집합 $X,Y$ 및 $X$에서 $Y$로 가는 함수들의 집합 ${\mathcal {F}}\subset Y^{X}$이 주어졌다고 하자. ${\mathcal {F}}$의 동등자 $\operatorname {Eq} ({\mathcal {F}})$는 다음과 같은 집합이다.

$\operatorname {Eq} ({\mathcal {F}})=\{x\in X|f(x)=g(x)\forall f,g\in {\mathcal {F}}\}$

자명한 경우로, ${\mathcal {F}}=\varnothing$인 경우 $\operatorname {Eq} (\varnothing )=X$이며, ${\mathcal {F}}=\{f\}$로 하나의 원소만을 갖는 경우 역시 $\operatorname {Eq} (\{f\})=X$이다.

일반적 범주에서의 정의

범주 ${\mathcal {C}}$에서, 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 및 사상 모임의 부분집합 ${\mathcal {F}}\subset \hom(X,Y)$이 주어졌다고 하자. ${\mathcal {F}}$의 동등자 $(E,\operatorname {eq} )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $E$는 ${\mathcal {C}}$의 대상이다.
• $\operatorname {eq} \in \hom _{\mathcal {C}}(E,X)$는 ${\mathcal {C}}$의 사상이며, 모든 $f,g\in {\mathcal {F}}$에 대하여 $f\circ \operatorname {eq} =g\circ \operatorname {eq}$이다.

이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다.

• 만약 $m\colon O\to X$가 임의의 $f,g\in {\mathcal {F}}$에 대하여 $f\circ m=g\circ m$을 만족시킨다면, $\operatorname {eq} \circ u=m$인 유일한 사상 $u\colon O\to E$가 존재한다.

이는 극한의 간단한 예이며, 이 경우 지표 범주 $J$는 두 개의 대상 $X,Y$ 및 사상 집합 $\hom _{J}(X,Y)={\mathcal {F}}$를 가진다.

주어진 범주에서 동등자는 존재하지 않을 수 있다. 다만, 만약 ${\mathcal {F}}$가 공집합이거나 하나의 원소만을 갖는 경우 동등자는 항상 존재하며, 이 경우 $(E,\operatorname {eq} )=(X,\operatorname {id} _{X})$이다.

만약 범주 ${\mathcal {C}}$가 곱 및 당김을 갖는다면, 항상 동등자를 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 사상을 생각하자.

$\operatorname {diag} _{Y}=(\operatorname {id} _{Y},\operatorname {id} _{Y})\colon Y\to Y\times Y$

$(f,g)\colon X\to Y\times Y$

그렇다면, 이에 대한 당김

$X\times _{Y\times Y}Y$

을 정의할 수 있으며, 이는 $f$와 $g$의 동등자와 같다. 동등자 사상은 당김의 표준 사영

$\pi _{X}\colon X\times _{Y\times Y}Y\to X$

에 의하여 주어진다.

외부 링크

• “Equalizer”. 《nLab》 (영어). 
• “Kernel of a morphism in a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Products and pullbacks imply equalizers?” (영어). StackExchange.