정규화 사슬 복합체

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호몰로지 대수학에서, 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)는 아벨 범주단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 돌트-칸 대응(Dold–Kan對應, 영어: Dold–Kan correspondence)이라고 한다.[1]

정의[편집]

무어 복합체[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 아벨 범주
  • 준단체 대상

이제, 다음을 정의하자.

그렇다면, 사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상 무어 사슬 복합체(영어: Moore chain complex)라고 한다.[2]:45, Definition 1.6.2

증명:

편의상 집합

을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수

가 존재한다.

그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.

사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 아벨 범주
  • 속의 자연수 등급 사슬 복합체

이제, 에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다.

퇴화 복합체와 정규화 복합체[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 아벨 범주
  • 단체 대상

이제, 다음을 생각하자.

(※ 에서, 합이 을 포함하지 않는다.)

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

그렇다면, 둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다. 퇴화 사슬 복합체(退化사슬複合體, 영어: degenerate chain complex)라고 하며, 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)라고 한다.

퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:

퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

여기서 는 임의의 사상이다.

그런데

이다.

정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:

의 핵의 경계가 의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

여기서 는 임의의 사상이다.

그런데

이다.

준단체 대상에 대응하는 단체 대상[편집]

우선, 다음 기호를 정의하자.

  • 은 모든 전사 증가 함수 ()들의 집합이다.

아벨 범주 속의 준단체 대상

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 위의 단체 대상을 정의할 수 있다.

즉, 각 에 대하여 포함 사상

이 있다.

그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주 속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다.

임의의 단체 범주 사상

에 대하여,

은 다음과 같다.

여기서,

  • 의, 단사 함수()와 전사 함수()로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
  • 은 함자 아래의, 이다.

성질[편집]

짧은 완전열[편집]

아벨 범주 속의 단체 대상 에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체짧은 완전열이 존재한다.

즉,

이다.

정규 사슬 복합체의 표준 분해[편집]

아벨 범주 속의 단체 대상 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

동형 사상은 다음과 같이 주어진다.

여기서

은 함자 아래 이다.

돌트-칸 대응[편집]

아벨 범주 위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

여기서

  • 위의 단체 대상의 범주이다.
  • 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다.

이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.

  • 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
  • 는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다.

또한, 이 범주의 동치자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형

가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다.

모형 구조[편집]

돌트-칸 대응을 사용하여, 위의 모형 범주 구조를 에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 사이의 퀼런 동치를 이룬다.

이 경우, 의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.

역사[편집]

돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트[3]다니얼 칸[4]이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.[5]

참고 문헌[편집]

  1. Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) 174. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1. 
  2. Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 301 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. 
  3. Dold, Albrecht (1958년 7월). “Homology of symmetric products and other functors of complexes”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 68 (1): 54–80. JSTOR 1970043. Zbl 0082.37701. doi:10.2307/1970043. 
  4. Kan, Daniel Marinus (1958년 3월). “Functors involving c.s.s. complexes”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 87 (2): 330–346. JSTOR 1993103. MR 0131873. Zbl 0090.39001. doi:10.1090/S0002-9947-1958-0131873-8. 
  5. Dold, Albrecht; Puppe, Dieter (1961). “Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen”. 《Annales de l’institut Fourier》 (독일어) 11: 201-312. MR 150183. Zbl 0098.36005. doi:10.5802/aif.114. 

외부 링크[편집]