비판정법

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비판정법(比判定法, ratio test) 또는 비율판정법(比率判定法)은 궁극적으로 0이 아닌 , 복소급수수렴 여부를 항비의 극한을 통해 판정하는 방법이다. 장 르 롱 달랑베르가 처음으로 출간하였다. 달랑베르 판정법(d'Alembert's ratio test), 코시 비율판정법(Cauchy ratio test)으로도 불린다.[1]

내용[편집]

실수 또는 복소수 항의 급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n에 대하여, an ≠ 0 이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하고, 극한

L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,\ L\in[0,+\infty]

이 존재하는 경우,

  • L < 1 이면 급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n절대수렴한다.
  • L > 1 이면 급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n발산한다.
  • L = 1 이면 급수는 수렴할 수도, 발산할 수 도 있다.

L이 존재하지 않는 경우 상극한하극한을 사용할 수도 있다. L = 1인 급수의 수렴성 판정을 위해 판정법을 확충할 수도 있다. 즉

R=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
r=\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

이라 두었을 때,[2][3]

  • R < 1 이면 급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n절대수렴한다.
  • r > 1 이면 급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n은 발산한다.
  • \textstyle{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1}이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하면(따라서 R, r ≥ 1), r의 값과 상관없이 급수는 발산한다. 이는 |an|이 항상 양수이고 언젠가부터 증가수열이여서 0으로 수렴하지 않기 때문이다.

극한 L이 존재할 때 L = R = r이므로 뒤의 방법은 앞의 방법을 포함한다.

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수렴급수[편집]

양항급수

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}

은 비판정법에 의해 수렴한다:

L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}}=\frac12<1

발산급수[편집]

양항급수

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n}

은 비판정법에 의해 발산한다:

L=\lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^n}{n}}=2>1

판정 불가[편집]

아래 급수들은 각기 다른 수렴성을 지니며, L = 1이라서 첫 번째 방법으로는 수렴성을 단정짓지 못 한다.

  • 발산급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}1
  • 절대수렴급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}
  • 조건수렴급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac1n

그러나 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}1의 경우 확충한 판정법의 세 번째 항목에 의해 발산한다는 것을 알 수 있다.

아래에 소개된 여러 판정법은 L = 1을 비롯한 비판정법이 소용없는 경우에 쓰일 수 있다.

증명[편집]

r > 1 일 때, 충분히 큰 임의의 n에 대해 |an+1| > |an| 이어서 0으로 수렴하지 않는다. 고로 급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n는 발산한다. 아래 둘은 R > 1 일 때의 증명이다.

R < 1 이면, R < q < 1인 q를 취했을 때, \textstyle{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}<q가 임의의 nm에 대해 성립하는 자연수 m이 존재한다. 그러므로 임의의 nm에 대해 |an| < qn-m|am|이 성립한다. 우변이 기하급수로서 수렴하므로 비교판정법에 의해 급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n도 수렴한다.

근판정법과의 관계[편집]

비판정법은 근판정법보다 약한 판정법이다. 비판정법이 유효한 모든 급수는 근판정법을 이용해서도 판정 가능하다. 부등식

\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \le \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \le \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

이 성립함에 따라

R<1 \Rightarrow \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1
r>1 \Rightarrow \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}>1

이 있기 때문이다.

다음은 세 번째 부등식의 증명[4]이다. 첫 번째 부등식의 증명은 비슷하고, 두 번째는 자명하다. 임의의 c > R을 취했을 때, 임의의 nm에 대해 \textstyle{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}\le c가 성립하는 자연수 m이 존재한다. 따라서 |an| < cn-m|am|, 즉 \textstyle \sqrt[n]{|a_n|} \le c\cdot\sqrt[n]{c^{-m}|a_m|}이 임의의 nm에게 성립한다. 양변에 상극한을 취하면

\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \le c

을 얻어 세 번째 부등식이 증명된다.

라베 판정법[편집]

라베 판정법(Raabe's test, 요제프 루트비히 라베)은 다음과 같이 서술된다.

궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 항의 급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n에 대해

R = \limsup_{n\to\infty}\; n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| - 1\right)
r = \liminf_{n\to\infty}\; n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| - 1\right)

라 하면, 급수는 r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산한다.

증명[편집]

r > 1이면, 1 < p < q < r이게끔 p, q를 취했을 때, 어떤 자연수 m이 있어 모든 nm에 대해 다음이 성립한다.

n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| - 1\right) > q > n\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^p - 1\right)

r > 1 또한 \textstyle n\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^p - 1\right) \to p임에 따른 것이다.

따라서 \textstyle \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| > \left(\frac{n+1}{n}\right)^p, 즉 \textstyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \frac{1 / (n+1)^p}{1 / n^p}가 성립하며, 비교판정법과 p-급수의 수렴에 의해 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n은 절대수렴한다.

R < 1이면, 어떤 자연수 m이 있어 모든 nm에 대해 \textstyle{\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| < 1 + \frac{1}{n}}이 성립한다. 따라서 \textstyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > \frac{1/(n+1)}{1/n}이며, 비교판정법과 조화급수의 발산에 의해 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n은 발산한다.

[편집]

급수

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!}

의 발산성은 라베 판정법으로 보여진다:

L = \lim_{n\to\infty} n \left(\frac{2n + 2}{2n + 1} - 1\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n + 1} = \frac{1}{2} < 1

비판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 판정할 수 없다.

베르트랑 판정법[편집]

베르트랑 판정법(Bertrand's test): 궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 급수 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n에 대해,

R = \limsup_{n\to\infty}\; \ln n \left(n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| - 1\right) - 1\right)
r = \liminf_{n\to\infty}\; \ln n \left(n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| - 1\right) - 1\right)

라 하면, r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산이다.

증명[편집]

r > 1이면, 1 < p < q < r이게끔 p, q를 취했을 때, 어떤 자연수 m이 있어 모든 nm에 대해 다음이 성립한다.

\ln n \left(n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| - 1\right) - 1\right) > q > (n+1) \ln n \left( \, \left(\frac{\ln (n+1)}{\ln n}\right)^p - 1\right) \to p

따라서 \textstyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \frac{1/\left[(n+1) \ln^p (n+1)\right]}{1/\left(n \ln^p n\right)}이며, 비교판정법과 \textstyle \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{n \ln^p n}의 수렴에 의해 급수는 절대수렴한다.

R < 1이면, 어떤 자연수 m이 존재하여 임의의 nm에 대해 \textstyle \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| < 1 + \frac1n + \frac{1}{n \ln n} < \frac{(n+1) \ln (n+1)}{n \ln n}이 성립한다. 비교판정법과 \textstyle \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}의 발산에 의해 급수는 발산한다.

쿠머 판정법[편집]

쿠머 판정법(Kummer's test, 에른스트 쿠머): 만약 a_n > 0\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n에 대해, 수열 c_n > 0이 존재하여

  • \textstyle r = \liminf_{n\to\infty} \left(c_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1}\right) > 0이 성립한다면, 양항급수는 수렴한다.
  • \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_n}이 발산하고 \textstyle R = \limsup_{n\to\infty} \left(c_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1}\right) < 0이 성립한다면, 양항급수는 발산한다.

증명[편집]

r > 0이면, 어떤 c가 존재하여, 충분히 큰 nm에 대해 \textstyle 0 < c < c_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1} , 즉

0 < ca_{n+1} < c_na_n - c_{n+1}a_{n+1}

이 성립한다. 따라서 cnan은 0을 하계로 하고 단조감소하므로 수렴한다. 망원급수 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} (c_na_n - c_{n+1}a_{n+1})은 이에 따라 수렴한다. 고로 양항급수가 수렴함을 비교판정법에 의해 알 수 있다.

R < 0이면, 충분히 큰 nm에 대해 cnan < cn + 1an + 1이 성립하며, 따라서

\frac{c_n}{a_n} > \frac{c_ma_m}{c_n}

이 임의의 n > m에게 성립한다. 비교판정법과 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_n}이 발산한다는 조건에 의해 양항급수는 발산한다.

더 나아간 결론[편집]

쿠머 판정법의 전건과 후건은 사실 서로 동치이다. 즉,[5]

  • 양수항급수가 수렴할 필요충분조건은, r > 0이게끔 하는 cn > 0이 존재한다는 것이다.
  • 양수항급수가 발산할 필요충분조건은, \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_n}이 발산하고 R < 0이게끔 하는 cn > 0이 존재한다는 것이다.

다르게 표현하면, 쿠머의 양항급수에 대한 판정법은 이론적으론 만능이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

참고 문헌[편집]