아벨의 합 공식(Abel's summation formula, -合 公式)은 해석학의 간단한 공식으로, 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다. 주로 해석적 수론에서 급수를 적분으로 표현하는 용도로 사용된다.
를 실수나 복소수 항의 수열이라 하고
를
급의 함수라 하자. 그러면 다음 항등식이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c109eb8baa133c15a1306ef704d28c8b2919f548)
여기서,
![{\displaystyle A(x):=\sum _{0<n\leq x}a_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf18e2f40756a2ee3fc75565f7efa7a4a622c0af)
이는 사실 단순한 계산을 통해 증명할 수 있는 리만-스틸체스 적분에 대한 부분적분 공식과 다름없는 식이다. 보다 일반적으로는 다음 식이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc49f910dbc239495052da004fc85938061d8d9)
만약
이고
이라면, 이상의 정의에 따라
이고 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db754422f21cf841921295c311d7d847318a7ed)
이러한 공식을 이용해 오일러-마스케로니 상수를 표현할 수 있다.
만약
이고
이라면,
이고 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282937f6e76a5a443327434c54c0a37d585cdcdf)
이 공식은
에 대해서 성립한다. 이 공식을 이용하면 제타함수
가 s = 1에서 유수 1인 단순극을 갖는다는 디리클레의 정리를 증명할 수 있다.
만약
이 뫼비우스 함수이고
이라면,
는 메르텐스 함수이고 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db230cfc37567551ec1931a44d0ddc8bd066a80)
마찬가지로 이 공식은
에서 성립한다.
- Apostol, Tom (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.