해석학 에서 특이점 (特異點, 영어 : singularity, singular point )이라는 용어는 복소해석학 과 실해석학 의 두 영역에서 각각 다른 의미로 사용된다. 포괄적으로 보면 이것은 일종의 함수 의 정의역에 포함되는 점으로서, 특정한 수학적 성질을 갖는 어떤 점을 지칭하는 용어이다. 다음과 같은 두 가지 의미로 분류할 수 있다:
복소해석학 에서, 복소 함수
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
해석적 이지 못할 때 점
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
특이점 이라고 한다.실해석학 에서, 실수 함수
f
{\displaystyle f}
특이점 은 주로 그 함수가 갖는 불연속 인 점이라는 의미로 쓰인다.복소해석학에서의 특이점 [ 편집 ] 복소해석학 에서 특이점은 복소함수의 성질을 규명하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 점
a
{\displaystyle a\,}
복소함수
f
{\displaystyle f\,}
f
{\displaystyle f\,}
a
{\displaystyle a\,}
f
{\displaystyle f\,}
근방 (neighborhood)에서 해석적이면 점
a
{\displaystyle a\,}
f
{\displaystyle f\,}
고립특이점 (isolated singularity)이라고 한다. 예를 들어
f
(
z
)
=
1
z
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}\,}
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
f
{\displaystyle f\,}
고립 특이점은 그 근방에서 함수의 특성에 따라 다시
제거 가능 특이점 (영어 : removable singularity )극점 영어 : pole )본질적 특이점 (영어 : essential singularity )으로 구분된다.
극한을 이용한 특이점의 구분 [ 편집 ] 점
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
만약
lim
z
→
a
(
z
−
a
)
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0\,}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
제거가능 특이점 이다.
lim
z
→
a
|
f
(
z
)
|
=
∞
{\displaystyle \lim _{z\to a}|f(z)|=\infty \,}
a
{\displaystyle a\,}
f
{\displaystyle f\,}
극점 이다.
lim
z
→
a
f
(
z
)
{\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
본질적 특이점 이다.로랑 급수를 이용한 특이점의 구분 [ 편집 ] 점
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a\,}
a
{\displaystyle a}
근방 에서 로랑 급수
f
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
b
n
(
z
−
a
)
n
+
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{(z-a)^{n}}}+\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}{(z-a)^{n}}}
로 전개할 수 있다. 위 급수의 처음 합을 주부 (主部, principal part), 두 번째 합을 해석부 (analytic part)라고 한다. 고립 특이점은 로랑 급수 에서 주부의 항 (項)이 전혀 나타나지 않으면 제거가능 특이점, 유한개만 나타나면 극(극점), 무한히 많이 나타나면 본질적 특이점이라고 한다. 위의 극한을 이용한 분류와 로랑 급수 를 이용한 분류는 일치한다.
극점의 위수 [ 편집 ] 함수
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
=
a
{\displaystyle z=a}
m
{\displaystyle m}
lim
z
→
a
(
z
−
a
)
m
f
(
z
)
{\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)^{m}f(z)}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
=
a
{\displaystyle z=a}
위수 m 인 극점 (pole of order m)을 갖는다고 한다. 특별히 위수가 1인 극점을 단순극 이라고 한다.
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)\,}
z
=
a
{\displaystyle z=a\,}
위수 m 인 극점 (pole of order m)을 갖는 경우
z
=
a
{\displaystyle z=a\,}
z
=
a
{\displaystyle z=a\,}
로랑 급수 는
f
(
z
)
=
b
m
(
z
−
a
)
m
+
b
m
−
1
(
z
−
a
)
m
−
1
+
⋯
+
b
1
z
−
a
+
A
(
z
)
{\displaystyle f(z)={\frac {b_{m}}{(z-a)^{m}}}+{\frac {b_{m-1}}{(z-a)^{m-1}}}+\cdots +{\frac {b_{1}}{z-a}}+A(z)\,}
와 같은 형태로 나타난다. 여기서
A
(
z
)
{\displaystyle A(z)\,}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)\,}
극점의 위수는 유수 정리 (residue theorem)를 이용한 복소함수의 적분에서 필요한 유수 의 계산에서도 이용된다.
정의역 안에서 어떤 특이점도 갖지 않는 함수를 해석함수 라고 하며, 극점 밖에 어떤 특이점도 갖지 않는 함수를 유리형 함수 라고 한다. 함수
f
(
z
)
=
sin
z
z
{\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{z}}\,}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
그런데
lim
z
→
0
z
f
(
z
)
=
lim
z
→
0
z
sin
z
z
=
0
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow 0}zf(z)=\lim _{z\rightarrow 0}z{\frac {\sin z}{z}}=0\,}
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)\,}
또는 아래와 같이 로랑 급수 에서 주부가 전혀 나타나지 않는다. 그러므로
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)\,}
f
(
z
)
=
sin
z
z
=
1
z
(
z
−
z
3
3
!
+
⋯
)
=
1
−
z
2
3
!
+
⋯
{\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{z}}={\frac {1}{z}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots \right)=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+\cdots \,}
함수
f
(
z
)
=
1
(
z
−
1
)
2
+
3
z
−
1
−
3
(
z
−
1
)
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}}}+{\frac {3}{z-1}}-3(z-1)\,}
z
=
1
{\displaystyle z=1\,}
그런데
lim
z
→
1
f
(
z
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}f(z)=\infty \,}
z
=
1
{\displaystyle z=1\,}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)\,}
또는 아래의 로랑 급수 에서 처음 두 항만이 주부에 속하므로
z
=
1
{\displaystyle z=1\,}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)\,}
f
(
z
)
=
1
(
z
−
1
)
2
+
3
z
−
1
−
3
(
z
−
1
)
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}}}+{\frac {3}{z-1}}-3(z-1)\,}
함수
f
(
z
)
=
e
1
z
{\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}\,}
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
그런데
lim
x
→
0
+
f
(
z
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(z)=\infty \,}
lim
x
→
0
−
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0^{-}}f(z)=0\,}
lim
z
→
0
f
(
z
)
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow 0}f(z)\,}
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)\,}
또는 아래의 로랑 급수 에서 주부의 항들이 무수히 많으므로
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)\,}
f
(
z
)
=
1
+
1
z
+
1
2
!
z
2
+
1
3
!
z
3
+
⋯
{\displaystyle f(z)=1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2!z^{2}}}+{\frac {1}{3!z^{3}}}+\cdots \,}
함수
1
/
(
z
−
2
)
3
{\displaystyle 1/(z-2)^{3}}
z
=
2
{\displaystyle z=2}
1
/
z
{\displaystyle 1/z}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
단순극 을 갖는다.고립 특이점으로서의 무한원점 [ 편집 ] 특이점은 확장된 복소평면 (extended complex plane)에서도 같은 방법으로 정의 할 수 있다. 다만 무한원점을 제외한 무한원점의 근방은
{
z
∈
C
:
|
z
|
>
M
}
(
M
>
0
)
{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \,:\,|z|>M\}\,\,\,(M>0)\,}
로 정의됨에 유의해야 한다.
실해석학에서의 특이점 [ 편집 ] 실해석학 에서, 특이점은 크게 두 종류로 분류된다:
함수
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
제 1종 특이점 (type 1 singularity )이란 것은
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
좌극한 과 우극한 이 존재하는 것을 의미한다.
함수
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
제 2종 특이점 (type 2 singularity )이란 것은
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
제 1종 특이점은 다음과 같이 두 종류로 세분되며:
함수
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
제거가능 특이점 (removable singularity )이란 것은
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
함수
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
도약 특이점 (jump singularity )이란 것은
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
제 2종 특이점 역시 다음과 같이 두 종류로 세분된다:
함수
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
무한 특이점 (infinite singularity )이란 것은
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
무한대 로 발산 하고 나머지 하나는 무한대로 발산하거나 수렴하는 것을 의미한다.
함수
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
본질적 특이점 (essential singularity )이란 것은
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
참고 문헌 [ 편집 ] 고석구 (2005). 《복소해석학개론》 2판. 경문사. 같이 보기 [ 편집 ] 외부 링크 [ 편집 ] 
이 부분의 본문은 불연속점의 분류입니다.