유수 (복소해석학)

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유수(留數)란 주로 복소해석학에서 통용되는 개념으로서, 어떤 함수 fz_0을 중심으로 하고 그 정의역 내의 어떤 환영역에 대해 로랑 급수 전개가 주어졌다고 가정할 때 그 주부분의 첫 번째 항, 즉 b_1 항을 일컫는다. 보통 표기할 때 \operatorname{Res}라 쓰는데, 이것을 다음과 같이 환영역의 내부에서 임의의 양의 방향 단순 닫힌 경로 C에 대한 적분으로 정리할 수 있다:

\operatorname{Res}(f,z_0)= b_1= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}{f(z)} dz

고립특이점과 유수[편집]

환영역의 중심인 z_0고립특이점일 때가 수학적으로 주요한 관심사가 된다. 고립특이점의 정의에 따르면, 세 가지 경우(z_0가 제거가능, 극, 진성인 경우)가 있는데, 다음과 같은 두 가지 상황에서는 유수 계산이 비교적 쉽다:

  1. 만약 z_0제거가능 특이점이라면, 유수는 정의에 따라 0이다.
  2. 만약 z_0위수가 n인 극이라면, 함수 g(z)=(z-z_0)^{n}f(z) (z\ne z_0); =b_n (z= z_0)을 이용하여, 유수는 다음 식으로 결정될 수 있다 : \operatorname{Res}(f,z_0)= \frac{g^{(n-1)}(z_0)}{(n-1)!}

그러나, 만약 z_0진성특이점이라면, 유수는 각각의 경우마다 달리 계산해야 한다.

무한대에서의 유수[편집]

유수의 정의를 확장하여, 무한대의 경우에도 적용시킬 수 있다. 고립특이점이 n개 존재하는 함수 f(z)의 로랑 급수에 약간의 대수적 조작을 가하여, 이것을 함수 \frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)에 관한 로랑 급수와 연관시킬 수 있기 때문이다. 이 함수의 z= 0에서의 유수에 대하여 모든 고립특이점을 밖에서 감싸는 임의의 단순 닫힌 경로 C를 생각하면 다음과 같은 식이 성립한다.

\operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0\right)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}{f(z)} dz

이 때 경로 C 안쪽에서 역시 모든 고립특이점을 밖에서 감싸는 반지름 R을 그릴 수 있다면, 이것은, \frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)0< |z| < \frac{1}{R}에서 로랑 급수로 전개했을 때의 b_1 항이라고 할 수 있다. 이것을 무한대에서 f(z)의 유수로 정의한다. 이것을 이용하면 유수 정리를,

\sum_{i=1}^n {\operatorname{Res}(f(z),z_i)}+ \operatorname{Res}(f(z),\infty)= 0

와 같이 간략하게 쓸 수 있다.

같이 보기[편집]

참고문헌[편집]

  • 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005