항등식

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수학에서 항등식(恒等式)은 등식의 일종으로, 항등식에는 크게 두가지의 정의가 있다.

첫번째의 정의는 등식 내부의 특정한 변수가 복소수의 범위에서 어떤 값으로 변하든 항상 참을 만족하는 등식이다.

예 : x에 대한 항등식에서 x가 복소수의 범위에서 어떤 값으로 변해


두번째의 정의는 등식의 양변에서 특정한 문자의 차수에따른 문자들의 계수가 각각 모두 같은 등식이다.

예 : x에 대한 항등식은 등식의 양변에서 x의 차수에 따른 x의 계수들이 각각 모두 같다.


항등식은 이 특정한 변수들을 구분하기위해 (특정한 문자)에 대한 항등식이라고 부르며, 항등식에서 변수로 분류되는 문자 이외의 문자들은 모두 '상수'이여야하는 약속이 있다.

등식에는 모두 방정식,항등식,항상거짓인 등식(불능)이 있다. 이 세가지 부류의 등식들을 효율적으로 구분하기위해서, 항등식만의 독특한 성질을 따로 분류하여야한다. 연산의 기본성질을 활용하여 변형되는 식들은 모두 항등식이다.

예를 들어, 의 경우는 특정 값에 대해서만 참을 만족하는 반면, 값에 관계 없이 항상 참을 만족한다. 즉, 두 번째의 식은 항등식이다.

사칙연산에 있어 다음은 모두 항등식이다.


모든 x에 대하여 성립하다. 임의의 x에 대하여 성립한다. x값에 관계없이 성립한다. 어떤 x의 값을 대입해도 성립한다.

위의 표현은 모두 위의 첫번째 정의에서 나온표현들로, 어떤 등식이 이 표현의 수식을 받는다면 항등식의 정의에 따라 그 등식은 x에 대한 항등식이다.

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