데겐의 여덟 제곱수 항등식 (Degen's eight-square identity, -數 恒等式)은 덴마크 수학자 페르디난 데겐 (Ferdinand Degen)의 이름이 붙은 항등식 이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다:
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
+
a
5
2
+
a
6
2
+
a
7
2
+
a
8
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
+
b
5
2
+
b
6
2
+
b
7
2
+
b
8
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2})=\,}
(
a
1
b
1
−
a
2
b
2
−
a
3
b
3
−
a
4
b
4
−
a
5
b
5
−
a
6
b
6
−
a
7
b
7
−
a
8
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+\,}
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
+
a
5
b
6
−
a
6
b
5
−
a
7
b
8
+
a
8
b
7
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}+a_{5}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{8}+a_{8}b_{7})^{2}+\,}
(
a
1
b
3
−
a
2
b
4
+
a
3
b
1
+
a
4
b
2
+
a
5
b
7
+
a
6
b
8
−
a
7
b
5
−
a
8
b
6
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{8}-a_{7}b_{5}-a_{8}b_{6})^{2}+\,}
(
a
1
b
4
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
+
a
4
b
1
+
a
5
b
8
−
a
6
b
7
+
a
7
b
6
−
a
8
b
5
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}+a_{5}b_{8}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}-a_{8}b_{5})^{2}+\,}
(
a
1
b
5
−
a
2
b
6
−
a
3
b
7
−
a
4
b
8
+
a
5
b
1
+
a
6
b
2
+
a
7
b
3
+
a
8
b
4
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{5}-a_{2}b_{6}-a_{3}b_{7}-a_{4}b_{8}+a_{5}b_{1}+a_{6}b_{2}+a_{7}b_{3}+a_{8}b_{4})^{2}+\,}
(
a
1
b
6
+
a
2
b
5
−
a
3
b
8
+
a
4
b
7
−
a
5
b
2
+
a
6
b
1
−
a
7
b
4
+
a
8
b
3
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{8}+a_{4}b_{7}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}-a_{7}b_{4}+a_{8}b_{3})^{2}+\,}
(
a
1
b
7
+
a
2
b
8
+
a
3
b
5
−
a
4
b
6
−
a
5
b
3
+
a
6
b
4
+
a
7
b
1
−
a
8
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{7}+a_{2}b_{8}+a_{3}b_{5}-a_{4}b_{6}-a_{5}b_{3}+a_{6}b_{4}+a_{7}b_{1}-a_{8}b_{2})^{2}+\,}
(
a
1
b
8
−
a
2
b
7
+
a
3
b
6
+
a
4
b
5
−
a
5
b
4
−
a
6
b
3
+
a
7
b
2
+
a
8
b
1
)
2
{\displaystyle (a_{1}b_{8}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{5}-a_{5}b_{4}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}+a_{8}b_{1})^{2}\,}
이 항등식은 네 제곱수의 경우에 관찰할 수 있는 오일러의 네 제곱수 항등식 , 즉,
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\,}
(
a
1
b
1
−
a
2
b
2
−
a
3
b
3
−
a
4
b
4
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+\,}
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\,}
(
a
1
b
3
−
a
2
b
4
+
a
3
b
1
+
a
4
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+\,}
(
a
1
b
4
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
+
a
4
b
1
)
2
.
{\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.\,}
을 일반화한 결과이다. 증명 자체는 단순한 식의 전개를 통해 할 수 있다. 이 항등식은 처음으로 1818년 무렵 데겐에 의해 발견되었으나, 이후 1843년 존 토머스 그레이브스 (John Thomas Graves)와 1845년 아서 케일리 에 의해 팔원수 체계가 구성되면서 독립적으로 재발견되었다. 이 항등식은 팔원수 a, b의 노름 에 대해
‖
a
b
‖
=
‖
a
‖
‖
b
‖
{\displaystyle \|ab\|=\|a\|\|b\|}
이보다 더 많은 수, 예컨대 16개의 수에 대해 유사한 항등식이 더 이상 성립하지 않는다는 것은 1898년 아돌프 후르비츠 에 의해 증명되었다.
