해석학 에서 아벨의 합 공식 (Abel's Sum Formula)은 크게 두 가지 의미로 사용된다. 여기에서는 적분 에 대한 공식을 기술할 것이다. 이는 많은 경우 쉽게 적분할 수 없을 것처럼 보이는 적분을 쉽게 만들어주는 공식이다. 닫힌 꼴의 적분값을 찾는 적분 기법의 측면에서, 이는 초등적인 기법으로 증명할 수 있는 고급 테크닉에 속한다.(이외의 테크닉으로는 푸리에 해석 을 이용한 방법, 유수 정리 를 이용한 방법, 변수 변환 을 이용한 방법, 수열 을 이용한 방법 등이 있다)
공식화 [ 편집 ] 일반적으로 아벨의 합 공식은 다음과 같이 공식화된다.
보조정리 :
[
c
,
∞
]
{\displaystyle [c,\infty ]}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
∫
c
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{c}^{\infty }f(x)\,dx}
∫
c
∞
e
−
a
x
f
(
x
)
d
x
=
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{c}^{\infty }e^{-ax}f(x)\,dx=F(a)}
0
≤
a
≤
1
{\displaystyle 0\leq a\leq 1}
균등수렴 한다.
정리 : 이 때, 실제로
∫
c
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
a
→
+
0
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{c}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\rightarrow +0}F(a)}
이것 자체의 증명은 그다지 어렵지 않으므로 생략한다.
아벨의 합 공식을 이용하는 방법은, 위의 공식에서 다른 방법으로
F
(
a
)
{\displaystyle F(a)}
a
{\displaystyle a}
아벨의 합 공식을 이용해 실제로 적분
∫
0
∞
sin
x
x
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx}
∫
0
∞
sin
x
x
d
x
=
lim
a
→
+
0
∫
0
∞
e
−
a
x
sin
x
x
d
x
=
lim
a
→
+
0
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx=\lim _{a\rightarrow +0}\int _{0}^{\infty }e^{-ax}{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx=\lim _{a\rightarrow +0}F(a)}
이 된다. 그런데 우변의 식은,
F
′
(
a
)
=
−
∫
0
∞
e
−
a
x
sin
x
d
x
=
−
1
1
+
a
2
{\displaystyle F'(a)=-\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin {x}\,dx=-{\frac {1}{1+a^{2}}}}
이 되므로, 이를 다시
a
{\displaystyle a}
F
(
a
)
=
−
arctan
a
+
C
{\displaystyle F(a)=-\arctan {a}+C}
와 같이 된다. 적분상수를 결정하기 위해 적분의 형태를 이용하자.
F
(
a
)
{\displaystyle F(a)}
a
{\displaystyle a}
0
{\displaystyle 0}
F
(
a
)
{\displaystyle F(a)}
0
{\displaystyle 0}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
lim
a
→
+
0
[
−
arctan
a
+
π
2
]
=
π
2
{\displaystyle \lim _{a\rightarrow +0}{[-\arctan {a}+{\frac {\pi }{2}}]}={\frac {\pi }{2}}}
가 되고, 이는 원 적분과 같다.
같이 보기 [ 편집 ] 참고 문헌 [ 편집 ] 호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006 
다른 뜻에 대해서는 아벨의 합 공식 문서를 참고하십시오.![{\displaystyle [c,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6de1c204d97857537d64cf3f4a9237743cb8e97)
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow +0}{[-\arctan {a}+{\frac {\pi }{2}}]}={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5463ceb1e2a6feb0fdf260e6212ca219b4119466)