뫼비우스 함수

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뫼비우스 함수(Möbius function) \!\,\mu(n)수론조합론에서 중요한 곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 이름은 이 함수를 1831년에 처음 소개한 독일의 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스로부터 유래되었다.

정의[편집]

μ(n)은 모든 양의 자연수 n에 대해 정의되며 n소인수분해를 한 결과에 따라 다음과 같이 {-1, 0, 1} 중에 하나의 값을 가진다.

  • μ(1) = 1이다.
  • n완전 제곱수를 약수로 가지지 않으면서 k개의 소인수를 가지면, μ(n) = (-1)k이다.
  • n완전 제곱수를 약수로 가지면, μ(n) = 0이다.

처음 몇 개의 자연수 n에 대해서 μ(n)의 값은 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, ...이다. μ(0)의 값은 일반적으로 정의하지 않는다.

함수의 처음 50개의 값을 표시하면 다음과 같다.

함수의 처음 50개의 값

특성과 적용[편집]

뫼비우스 함수는 곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 즉, ab서로 소이면 μ(ab) = μ(a)μ(b)이다. n의 양의 약수의 뫼비우스 함수 값의 합은 n이 1일 때 1, n이 1보다 클 때 0이다:

\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ if } n=1\\
0&\mbox{ if } n>1\end{matrix}\right.

수론에서 뫼비우스 함수와 밀접하게 연관된 수론적 함수메르텐스 함수이다. 이 함수는 모든 자연수 n에 대해서 다음과 같이 정의된다:

M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k)

이 함수는 리만 제타 함수의 0의 개수와 밀접하게 연관되어 있다. M(n)과 리만 가설 사이의 연관성에 대해서는 메르텐스 추측 페이지를 참고하여라.

소인수를 3개 가지면서 완전 제곱수로 나눠 떨어지지 않는 스페닉 수 n의 경우, 항상 μ(n) = -1이다.

다음과 같이 디리클레 급수(Dirichlet series)로부터 리만 제타 함수의 역수를 만들어 낼 수 있다.

\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)}.

μ(n)의 값들[편집]

오직 n이 완전 제곱수로 나누어 떨어질 때만 μ(n) = 0이다. 이런 성질을 가진 처음 몇 개의 숫자들은 다음과 같다: (온라인 정수열 사전A013929를 참고하여라)

 4,  8,  9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44,
45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,...

n소수라면 μ(n) = -1이지만, 역은 참이 아니다. 소수가 아니면서 μ(n) = -1인 가장 작은 n은 30(= 2 · 3 · 5)이며, 이런 식으로 3개의 소인수를 가지면서 완전 제곱수로 나눠 떨어지지 않는 처음 몇 개의 숫자들(스페닉 수)은 다음과 같다: (A007304)

 30,  42,  66,  70,  78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 
165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,...

그리고 5개의 소인수를 가지면서 완전 제곱수로 나눠 떨어지지 않는 처음 몇 개의 숫자들은 다음과 같다: (A046387)

 2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 
 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ...

참고[편집]