곱셈적 함수

수론에서 곱셈적 함수(-的函數, 영어: multiplicative function) 또는 곱산술 함수(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.

정의

함수 $f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수라고 한다.

• 임의의 $m,n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, 만약 $\gcd\{m,n\}=1$이라면, $f(mn)=f(m)f(n)$이다.

함수 $f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, 영어: completely multiplicative function)라고 한다.

• 임의의 $m,n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, $f(mn)=f(m)f(n)$이다.

(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 $\mathbb {Z}$의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.^:413

성질

연산에 대한 닫힘

곱셈적 함수 $f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.^:417

• $n\mapsto f(n^{k})\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})$
• $n\mapsto f(\gcd\{n,k\})\qquad (k\in \mathbb {Z} )$

항등식

곱셈적 함수 $f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$에 대하여, 만약 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$의 소인수 분해가

$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$

일 경우, 다음이 성립한다.

$f(n)=f(p_{1}^{a_{1}})f(p_{2}^{a_{2}})\cdots f(p_{k}^{a_{k}})$

만약 추가로 $f$가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

$f(n)=f(p_{1})^{a_{1}}f(p_{2})^{a_{2}}\cdots f(p_{k})^{a_{k}}$

즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.^:416

곱셈적 함수 $f,g\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.^{:415; 417; 421, 따름정리3}

$f(1)=1\vee f(x)=k\delta _{1,x}$

$f(m)f(n)=f(\gcd\{m,n\})f(\operatorname {lcm} \{m,n\})$

$\sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{p\mid n}(1-f(p))$

$\sum _{d\mid n}\mu (d)^{2}f(d)=\prod _{p\mid n}(1+f(p))$

여기서 $\mu$는 뫼비우스 함수이다.

곱셈적 함수 $f\colon A\to \mathbb {C}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb {Z}$이 $-1\in A$를 만족한다면,

$f(-1)=\pm 1$

이다.^:417

디리클레 합성곱

곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 $f,g\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$의 디리클레 합성곱

$f*g\colon n\mapsto \sum _{d\mid n}f(d)g(n/d)$

와 디리클레 역원

$f^{-1}\qquad (f^{-1}*f=f*f^{-1}=\delta _{\bullet ,1})$

은 곱셈적 함수이다.^{:423, 정리5; 429, 문제22}

곱셈적 함수 $f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$에 대하여, 만약 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$의 소인수 분해가

$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$

일 경우, 다음이 성립한다.^{:418, 정리1; 423, 식(27)}

$\sum _{d\mid n}f(d)=\prod _{j=1}^{k}(1+f(p_{j})+\cdots +f(p_{j}^{a_{j}}))$

$\sum _{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod _{j=1}^{k}(f(p_{j}^{a_{j}})-f(p_{j}^{a_{j}-1}))$

만약 추가로 $f$가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

$\sum _{d\mid n}f(d)=\prod _{j=1}^{k}(1+f(p_{j})+\cdots +f(p_{j})^{a_{j}})$

$\sum _{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod _{j=1}^{k}(f(p_{j})^{a_{j}}-f(p_{j})^{a_{j}-1})$

예

다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.

• $n\mapsto n^{k}$ ($k$는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
  • $n\mapsto 1$: 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 $k=0$인 경우이다.
  • $n\mapsto n$: 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 $k=1$인 경우이다.
• $n\mapsto \delta _{n,1}$: $n$이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.
• $n\mapsto (n/p)$ ($p$는 소수): 르장드르 기호. $n$이 $p$에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, $p$의 배수일 경우 0을 취한다.

다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.

• $n\mapsto \phi (n)$: 오일러 피 함수. $n$보다 작고 $n$과 서로소인 양의 정수의 개수
• $n\mapsto \mu (n)$: 뫼비우스 함수. $n$이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, $n$의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. $n$이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.
• $n\mapsto \sigma _{k}(n)$ ($k$는 음이 아닌 정수): 약수 함수. $n$의 모든 양의 약수의 $k$제곱의 합
  • $n\mapsto d(n)$: $n$의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 $k=0$인 경우이다.
  • $n\mapsto \sigma (n)$: $n$의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 $k=1$인 경우이다.

양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수

$n\mapsto r_{2}(n)$

는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.

$1=1^{2}+0^{2}=0^{2}+1^{2}=(-1)^{2}+0^{2}=0^{2}+(-1)^{2}$

즉,

$r_{2}(1)=4\neq 1$

이다.

폰 망골트 함수

$n\mapsto \Lambda (n)$

는 $n$이 어떤 소수 $p$의 양의 정수 제곱일 경우 $\ln p$를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.

$\Lambda (1)=0\neq 1$

이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.

외부 링크

• “Multiplicative arithmetic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Multiplicative number theoretic function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.