서로소 아이디얼

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(서로소 (수론)에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

수론환론에서, 서로소(-素整數, 영어: coprime, relatively prime, mutually prime)는 정수다항식들끼리의 최대 공약수가 1이라는 뜻의 표현이다.[1] 즉, 서로소인 정수들의 공약수는 ±1뿐이며,[2] 서로소인 다항식들의 공약수는 0차 다항식뿐이다. 서로소의 개념은 아이디얼의 경우에까지 확장할 수 있으며, 이는 정수와 다항식의 경우의 공통적인 일반화이다.

정의[편집]

정수의 경우[편집]

정수 을 만족시키면, 이들이 서로소라고 한다. 특히 두 정수 의 최대 공약수가 1이라면, 이 두 정수가 서로소라고 한다.

정수 가 다음 조건을 만족시키면, 이들이 쌍마다 서로소(雙-素, 영어: pairwise coprime)라고 한다.

  • 모든 서로 다른 두 정수의 쌍 은 서로소이다.

쌍마다 서로소는 서로소보다 강한 개념이다.

다항식의 경우[편집]

위의 다항식 의 최대 공약수가 0차 다항식(즉, 1의 약수이자 1의 배수인 다항식)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 다항식의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

환의 원소의 경우[편집]

정역 의 원소 의 최대 공약수가 가역원(즉, 곱셈 항등원의 약수이자 배수인 원소)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 원소의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

아이디얼의 경우[편집]

아이디얼 가 다음 조건을 만족시키면, 서로소라고 한다.

  • . 즉, 가 존재한다.

특히, 두 아이디얼 를 만족시키면 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 아이디얼의 쌍이 서로소라면, 이 아이디얼들이 쌍마다 서로소라고 한다.

성질[편집]

베주 항등식[편집]

두 정수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 은 서로소이다.
  • 은 공통의 소인수를 갖지 않는다.
  • (베주 항등식) 인 정수 가 존재한다.
  • 는 서로소이다.

두 다항식 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 는 서로소이다.
  • 는 공통의 기약 다항식 약수를 갖지 않는다.
  • (베주 항등식) 가 존재한다.
  • 는 서로소이다.

보다 일반적으로, 환 및 그 두 원소 에 대하여, 만약 유일 인수 분해 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 는 서로소이다.
  • 는 공통의 소원 약수를 갖지 않는다.

만약 주 아이디얼 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 는 서로소이다.
  • (베주 항등식) 가 존재한다.
  • 는 서로소이다.

중국인의 나머지 정리[편집]

유사환의 쌍마다 서로소 아이디얼에 대하여 중국인의 나머지 정리가 성립한다. 정수나 다항식의 연립 합동 방정식의 해의 구조에 대한 명제는 이에 대한 특수한 경우이다.

확률론적 성질[편집]

두 정수가 서로소일 확률은

이다.

증명:

소수 가 어떤 정수를 나눌 확률은 이며, 어떤 두 정수를 나눌 확률은 이다. 따라서 두 정수가 서로소일 확률은 이 둘을 모두 나누는 소수가 존재하지 않을 확률과 같으며, 이는 다음과 같다.

여기서 는 소수의 집합, 리만 제타 함수이다.

각주[편집]

  1. Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright (1979). 《An Introduction to the Theory of Numbers》 (영어). Oxford Science Publications. 20쪽. Two or more positive integers that have greatest common divisor 1 are said to be relatively prime to one another, often simply just referred to as being "relatively prime. 
  2. Weisstein, Eric W. “Relatively Prime” (영어). "Two integers are relatively prime if they share no common positive factors (divisors) except 1. 

외부 링크[편집]