서로소 (수론)

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최대공약수가 1인, 둘 이상의 양의 정수들은 서로소(relatively prime)이라고 불린다.[1] 두 정수가 1 이외에 양의 공약수를 가지지 않으면 서로소이다.[2]

최대공약수를 표시하기 위한 기호 (m, n)을 사용하여서 두 정수 m과 n이 (m, n)=1이면 서로소이다.[3] GCD(m, n)=1으로 나타내기도 한다.

성질[편집]

만약 두 수 a, b가 서로소이면, ax + by = 1인 두 정수 x, y가 존재한다. 또한 이것의 도 성립한다.

어떤 정수를 임의로 선택했을 때 그 정수가 소수 p배수일 확률은 \frac{1}{p}이다. 따라서 임의의 두 정수가 소수 p배수일 확률은 \frac{1}{p^2}이다.

두 정수가 모든 소수의 배수가 아닐 확률, 즉 서로 소일 확률은 다음과 같다.

\prod_p^{\infty} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \frac 1 {\prod \frac{1}{1-p^{-2}}} = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} = 0.607927101854026628663276...=60.7927101854026628663276...%

여기에서 \zeta리만 제타 함수를 뜻한다.

서로 다른 두 소수는 서로소이며, 서로 다른 두 서로소를 제곱한 수도 서로소 이다.

각주[편집]

  1. Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright (1979). 《An Introduction to the Theory of Numbers》 (영어). Oxford Science Publications. 20쪽. Two or more positive integers that have greatest common divisor 1 are said to be relatively prime to one another, often simply just referred to as being "relatively prime. 
  2. Weisstein, Eric W. “Relatively Prime” (영어). "Two integers are relatively prime if they share no common positive factors (divisors) except 1. 
  3. Weisstein, Eric W. “Relatively Prime” (영어). "Using the notation (m,n) to denote the greatest common divisor, two integers m and n are relatively prime if (m,n)=1