르장드르 기호

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수론에서, 르장드르 기호(Legendre symbol)는 어떤 수가 제곱 잉여인지 아닌지를 나타내는 함수이다.

정의[편집]

홀수 소수 와 정수 에 대하여, 르장드르 기호는 다음과 같다.

즉, 에 대한 제곱 잉여일 때 1을, 에 대한 제곱 비잉여일 때 -1을, 의 배수일 때 0을 값으로 한다. 르장드르 기호는 마치 분수처럼 생겼지만, 분수의 계산과는 관련이 없다.

성질[편집]

항등식[편집]

다음과 같은 항등식들이 성립한다.

이들은 제곱 잉여의 성질에 대응한다. 예를 들어, 세 번째 항등식에 따라, 두 제곱 잉여의 곱은 제곱 잉여이다.

만약 라면, 다음이 성립한다.

이차 상호 법칙[편집]

홀수 소수 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

이를 이차 상호 법칙이라고 한다. 즉,

인 경우를 제외하면 서로에 대한 제곱 잉여이거나, 서로에 대한 제곱 비잉여이다.

[편집]

작은 정수의 홀수 소수 에 대한 르장드르 기호는 다음과 같다.

일반화[편집]

야코비 기호는 르장드르 기호를 소수에서 임의의 홀수까지 확장하며, 크로네커 기호는 이를 임의의 짝수에까지 확장한다.

역사[편집]

프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르가 도입하였다.