수론에서 페리 수열(영어: Farey sequence)은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 n 을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.
:
이고
을 만족하는
를 오름차순으로 나열한 수열
한편, 페리 수열을 페리 급수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니기 때문에 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다.
수열의 길이[편집]
n번째 페리 수열
의 정의에 따라
의 길이와
의 길이의 차이는, n+1보다 작으면서 동시에 n+1과 서로소인 자연수의 개수와 같다. 따라서 페리 수열의 길이에 관한 점화식은 오일러 피 함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle |F_{n+1}|=|F_{n}|+\varphi (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9891cc667396b49f679c379bcad364d04822c78)
즉,
은 계차가
인 계차수열이고
이기 때문에, 시그마 기호를 사용하여
의 일반항을 나타내면
![{\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f984f0ff03e15990e15ac32e89728ebe390c3800)
이웃한 항[편집]
페리 수열
의 연속된 두 항을 각각 순서대로
라고 하면,
![{\displaystyle k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c42ce0f75b749e0b4fbec6561bbe86d34a66aac)
따라서 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현할 수 있다.
![{\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}-{\frac {h_{1}}{k_{1}}}={\frac {k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}}{k_{1}k_{2}}}={\frac {1}{k_{1}k_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de1804e0454fb41e8c4d8d533f6874b1faf9125)
연속된 세 항을 차례대로
라고 할 경우,
![{\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d096cb4c01ceb05841befa16e9d064f5edb9ea2)
이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다.
가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때
와
는 각각이 페리 수열의 연속하는 두 항이므로
... (1)
... (2)
(1)![{\displaystyle \times h_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa83921a6323b89f3672464e0972b6b83916993)
(2)
와 (1)![{\displaystyle \times k_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0127aa30af77ad756ccbed744de53dd18ecc91)
(2)
를 각각 계산하여 정리하면
![{\displaystyle h_{1}+h_{3}=h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bceb5be670ee5b9d696f82ca90cff1207c3a2a12)
![{\displaystyle k_{1}+k_{3}=k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c6a1381614ddf29dc98b8fffd196551ebf67f4)
따라서,
![{\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}={\frac {h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}{k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}}={\frac {h_{2}}{k_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf1171056fc909e16e72a940e841a6ec311af43)
물론, 후자의 성질에서 전자의 성질을 유도하는 것 역시 가능하다.[1]
한편, 페리 수열의 인접한 두 항
의 중앙값
![{\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{2}}{k_{1}+k_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f460f2a154798151ee0b8a83a487a6ebfd8bcbb)
의 분모
는 항상
보다 크다.
![{\displaystyle k_{1}+k_{2}>n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0308270287000296ca058e8935b798244faf98db)
또한 인접한 두 항의 중앙값은
번 째 페리 수열
에 처음 등장하며, 이 값은 항상 구간
![{\displaystyle \left({\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f87b9ce2698fb5d4a10ec6862058805d73ff083)
사이에 존재하게 된다.
n=1…8까지의 페리 수열은 다음과 같다.
- F1 = {0/1, 1/1}
- F2 = {0/1, 1/2, 1/1}
- F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
- F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}
- F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}
- F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1}
- F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}
- F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}
1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로(영어: Charles Haros)가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세(영어: John Farey, Sr.)가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.
참고 문헌[편집]
같이 보기[편집]