계차수열

수학에서, 수열의 계차수열(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열

1, 4, 9, 16, ... , n 2, ...

의 계차수열은

3, 5, 7, ... , 2 n + 1, ...

과 같다. 수열 { $a n}$ 의 계차수열의 일반항은 $a n +1 - a n$ 이다.

정의

수열 $a n}$ 의 계차수열은 다음과 같은 수열 $Δ a n}$ 이다.^[1]

\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}

또, $Δ a n}$ 의 계차수열

\Delta \Delta a_{n}=\Delta a_{n+1}-\Delta a_{n}=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}

을 제 2계차수열이라고 하고, $Δ 2 a n}$ 으로 표기한다.

임의의 자연수 $k$ 에 대하여 제 $k$ 계차수열(kth difference) $Δ k a n}$ 은 다음과 같이 정의된다.

\Delta ^{k}a_{n}=\underbrace {\Delta \Delta \cdots \Delta } _{k}a_{n}

또는 (점화식을 써서)^[1]

\Delta ^{0}a_{n}=a_{n}

\Delta ^{k+1}a_{n}=\Delta \Delta ^{k}a_{n}=\Delta ^{k}a_{n+1}-\Delta ^{k}a_{n}

위에서 알 수 있듯이, $a n$ 의 영계 차수열은 자기 자신, 일계 차수열은 $Δ a n$ 이다.

수열 $1, 3, 5, 7, ...$ 과 $2, 4, 6, 8, ...$ 의 계차수열은 모두 $2, 2, 2, 2, ...$ 이다.
수열 $1, 1 / 2, 1 / 3, 1 / 4, ...$ 의 계차수열은 $1 / 1 \times 2, 1 / 2 \times 3, 1 / 3 \times 4, ...$ 이다.
수열 $9, 99, 999, 9999, ...$ 의 계차수열은 $90, 900, 9000, ...$ 이다. 이계 차수열은 $810, 8100, ...$ 이다.
피보나치 수열 $1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$ 의 계차수열은 $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$ , 즉 0 하나를 앞에 붙인 것과 같다.
등차수열 $a n = pn + q$ 의 계차수열은 상수열 $Δ a n = p$ 이다. 특별히, 상수열 $a n = c$ 의 계차수열은 영수열 $Δ a n = 0$ 이다.
조화수열 $a n = 1 / pn + q$ 의 계차수열은 $Δ a n = p / (pn + q)(pn + p + q)$ 이다.
주어진 수열 $a n$ 의 합 $S n = a 1 + \dots + a n$ 의 계차수열은 $a 2, a 3, a 4, ...$ 이다.
3차 다항식인 $n 3$ 의 1, 2, 3계 차수열은 각각 $3 n 2 + 3 n + 1$ , $6 n + 6$ , $6$ 이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.

임의의 수열 $a n}$ 은 초항과 일계 차수열 $Δ a n}$ 에 의해 유일하게 결정된다.
$a_{n}=a_{1}+\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+\cdots +\Delta a_{n-1}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}\Delta a_{k}$

다만, 홀수열

1, 3, ...

과 짝수열

2, 4, ...

처럼, 일계 차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.

더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.^[1]
$a_{n}=a_{1}+(n-1)\Delta a_{1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\Delta ^{2}a_{1}+\cdots +\Delta ^{n-1}a_{1}=\sum _{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}\Delta ^{k}a_{1}$

여기서

\textstyle {n-1 \choose k}

는

(n - 1)

개의 대상 중에서

k

개를 고른 조합수이다.

$k$ 계 차수열의 일반항은 원래 수열의 항에 의해 다음과 같이 전개된다.
$\Delta ^{k}a_{n}=a_{n+k}-ka_{n+k-1}+{\frac {k(k-1)}{2}}a_{n+k-2}+\cdots +(-1)^{k}a_{n}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{k \choose i}a_{n+k-i}$
수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 $a n}$ 이 단조증가할 필요충분조건은 $Δ a n \geq 0$ 이 모든 $n$ 에게 성립하는 것이다. 수열 $a n}$ 이 단조감소할 필요충분조건은, $Δ a n \leq 0$ 이 모든 $n$ 에게 성립하는 것이다.
아벨 변환
슈톨츠-체사로 정리

$m$ 계 등차수열 $(m \geq 0)$ 은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

위의 예시 문단에서, 수열 $6, 6, ...}$ 은 0계 등차수열이며, 그 수열을 계차수열로 하는 수열인 $6 n - 6}$ 은 1계 등차수열이다. 마찬가지로 $3 n 2 + 3 n + 1}$ 은 2계 등차수열, $n 3}$ 은 3계 등차수열이다.

어떤 수열 $a n}$ 이 $m$ 계 등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 $n$ 에 대한 $m$ 차 다항식이라는 것이다.^[1]

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 吴强 (2008). 张飞羽, 편집. “阶差数列的几个性质及其应用” [계차수열의 몇가지 성질과 그 응용]. 《河西学院学报》. 24 (중국어) (2): 6–9.