극값

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함수f(x) = cos(3πx)/x, 0.1≤x≤1.1에서의 극값. 일부 극값은 최대/최솟값이기도 하다.

함수극값(極값, 영어: local extremum)은 특정 지점의 함수값이 그 지점 주변의 다른 모든 함수값과 비교했을 때 가장 크거나 가장 작은 경우의 값을 가리킨다. 그 함수값이 가장 큰 경우를 극댓값, 가장 작은 경우를 극솟값으로 부른다.

최적화 문제에서는 함수의 극값이나 최대/최솟값을 구하는 문제를 다룬다.

정의[편집]

일반적인 함수 f의 그래프

공역부분순서가 존재하는 함수 에 대해, 어떤 값 근방 가 존재하여 그 근방에 속하는 모든 에 대해 가 성립하는 경우, 그 함수는 에서 극대가 된다고 정의한다. 이때 극댓값으로 정의한다. 반대로, 가 성립하는 경우는 극소, 극솟값으로 정의한다.

만약 가 함수 정의역의 모든 원소의 함숫값 이상이거나 이하일 경우, 에서 최대 혹은 최소가 된다고 정의한다. 이 때의 극값을 최댓값, 최솟값으로 부른다.

극댓값 극솟값,최대값 최솟값 정의에의해 최댓값{최솟값}이면 항상 극댓값{극솟값}이다. 다음은 의 그래프이다. 이 함수는 점 A에서 최소이고 점 J에서 최대이다. 또한 점 B, D, F, J에서 극대이고 점 E, G에서 극소이다. 점 A에서 극솟값의 정의를 만족하는 근방을 잡을 수 없다. 왜냐하면 아무리 작은 근방을 잡더라도 그 근방은 정의역에 포함될수 없고,따라서 A는 극소가 된다.

일계 도함수 판정법[편집]

공역부분순서가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 공역실수집합 인 함수 를 생각하자.(여기서 는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 미분가능하고 에서 극값을 가진다면 이다. 즉, 는 함수 임계점이다. 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 일계 도함수 판정법이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는 부터 까지의 모든 에대해 임을 알 수 있다. 다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 위 그래프의 점 I나 점 K의 경우 임계점이긴 하지만 극솟값이나 극댓값은 아니다.

증명[편집]

n=1일 때

극댓값의 정의에 의하여 를 만족하는 를 포함하는 어떤 개구간 가 존재한다. 개구간열린 집합이므로 를 만족하는 어떤 양의 실수 이 존재한다. 가 존재하므로 이를 라하자. 그렇다면 이다. 일 때 이므로 이다.(극한의 성질 중 함수와 극한의 대소 문단 참고) 마찬가지로 일 때 이므로 이다. 인 동시에이므로 이다. 극솟값의 경우도 마찬가지이다. 즉, 함수 가 미분가능하고 에서 극값을 가진다면 이다.

모든 n에 대해

임의의 벡터 에 대해 함수 로 정의하자. 그렇다면 에서 극값을 가져야 한다. 위에서 증명했듯이 이므로 연쇄법칙에 의하여 이다. 임의의 에 대해 이므로 이다.

이계 도함수 판정법[편집]

함수 함수이고 가 함수 임계점일 때, 양의 정부호이면, 즉 모든 에 대하여 0 이상이고 일때만 0이라면 에서 극소이다. 반대로 음의 정부호이면, 즉 모든 에 대하여 0 이하이고 일때만 0이라면 에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 이계 도함수 판정법이라고 한다.

여기서 이라는 조금 특별하고 조금 더 익숙한 경우를 생각해보자. 이라면 이므로 일때만 양의 정부호이고 일때만 음의 정부호이다. 즉, 일변수 함수의 이차 도함수 판정법은 단순히 의 부호를 알아보는 것이다.

증명[편집]

보조정리: 어떤 실수행렬 가 있을 때 이차 함수 를 정의하자. 만약 양의 정부호라면 모든 을 만족하는 양의 실수 이 존재한다.

(증명) 에 대해 연속이므로 최대 최소 정리에 의하여 최솟값 을 가진다. 이때 양의 정부호이므로 이다.
 이차함수이므로 이 아닌 모든 에 대해 가 성립한다. 일때는 자명하다.

이므로 테일러 정리에 의하여 이다. 여기서 이다. 만약 양의 정부호라면 보조 정리에 의하여 를 만족하는 양의 실수 이 존재하며 극한의 정의에 의하여 을 만족하는 양의 실수 가 존재한다. 따라서 일 때 , 즉 이다. 그러므로 에서 극소이다. 비슷한 방식으로 음의 정부호이면 에서 극대이다.

헤세 행렬식과의 관계[편집]

그림과 같은 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 이차 도함수 판정법에 이용된다.

헤세 행렬에서 그림과 같이 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 양의 정부호이고 음과 양이 번갈아서 나올 경우 음의 정부호이다. 즉, 이차 도함수 판정법에 따라서 부분 행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 에서 극소이고 부분행렬들의 행렬식이 음과 양이 반복될 경우 에서 극대이다. 만약 두 경우 모두 아니라면 임계점 안장점으로 극대이지도 극소이지도 않다.

예를들어, 이변수 함수 이고 함수일 경우 만약 에서 극소라면 다음과 같은 조건들을 만족한다.

  1. 에서 이때 헤세 행렬행렬식이다.

마찬가지로 에서 극대라면 다음과 같은 조건들을 만족한다.

  1. 에서

그리고 가 이 조건들을 만족하지 않는 임계점이라면, 즉, 에서 라면 안장점이다.

만약 이라면 이차 도함수 판정법만으로는 극대와 극소를 판별할 수 없는데, 이때 임계점퇴화 극점 또는 변질 극점이라고 말한다. 반대로 이차 도함수 판정법으로 극대, 극소, 안장점인지의 여부를 판별할 수 있는 임계점정상적인 임계점 또는 비퇴화 임계점이라고 일컫는다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7. 
  • Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.