바이어슈트라스 M-판정법

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바이어슈트라스 M-판정법(Weierstrass M-test)은 함수항급수절대균등수렴 여부에 대한 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.[1]

카를 바이어슈트라스의 이름이 붙어 있다.

내용[편집]

f_n(x)를 집합 D에 정의된, 실수 또는 복소수 값 함수의 열이라고 하자. 만약 어떤 양항수열 M_n이 존재하여,

  • 임의의 자연수 n과 임의의 x \in D에 대해, |f_n(x)| \le M_n이고,
  • \sum_{n=1}^{\infty} M_n이 수렴하면,

급수 \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)D에서 절대균등수렴한다. (즉, 항별로 절댓값을 취한 급수가 균등수렴한다. 이는 동시에 절대수렴과 균등수렴인 것보다 강한 조건임에 주의해야 한다.)

바이어슈트라스 M-판정법은, 함수해석학적으로는 균등 노름의 급수가 수렴하면, 함수의 급수가 절대균등수렴한다고 서술된다. 또한, 임의의 바나흐 공간을 공역으로 하는 함수들의 급수에게도 적용된다.

증명[편집]

\sum_{n=1}^{\infty} M_n이 수렴하므로, 임의의 \epsilon > 0에 대해, 어떤 자연수 N이 존재하여, 임의의 n,m \ge N에 대해,

\sum_{k=m}^n M_k \le \epsilon

그러므로,

\left|\sum_{k=m}^n |f_k(x)|\right| \le \sum_{k=m}^n M_k \le \epsilon

따라서 균등수렴에 대한 코시 판정법에 의해, \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)D에서 절대균등수렴한다.

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실함수항급수 \sum_{n=1}^{\infty} x^2e^{-nx}의 각 항은,

(x^2e^{-nx})' = xe^{-nx}(2 - nx)

임에 따라,

x^2e^{-nx} \le \left(\frac{2}{n}\right)^2e^2,\ \forall x \in [0, \infty)

이다. 조화급수 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}이 수렴하므로, \sum_{n=1}^{\infty} x^2e^{-nx}[0, \infty)에서 균등수렴한다.

각주[편집]

  1. Tao, Terence (2008). 《陶哲轩实分析》 [테렌스 타오 실해석] (중국어). 번역 王昆扬 1판. 人民邮电出版社. ISBN 978-7-115-18693-5. 

참고 문헌[편집]

  • Rudin, Walter (1976). 《Principles of Mathematical Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. 148쪽. ISBN 0-07-054235-X.