바이어슈트라스 M-판정법

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해석학에서, 바이어슈트라스 M-판정법(영어: Weierstrass M-test)은 함수항 급수균등 수렴충분 조건을 제시하는 수렴 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.[1]

정의[편집]

실수체 또는 복소수체라고 하자.

실숫값 또는 복소숫값 함수항 급수[편집]

집합 함수열 ()이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 이 존재한다고 하자.

  • 임의의 에 대하여,

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 균등 수렴한다.

증명:

임의의 양의 실수 에 대하여, 의 부분합이 코시 수열이므로, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.

임의의 에 대하여,

삼각 부등식에 따라, 임의의 에 대하여,

이다. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따라, 균등 수렴한다.

바나흐 공간 값의 함수항 급수[편집]

보다 일반적으로, 집합 -바나흐 공간 함수열 ()이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 이 존재한다고 하자.

  • 임의의 에 대하여,

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 균등 수렴한다.

증명:

유계 함수 벡터 공간 위에 다음과 같은 상한 노름을 줄 수 있다.

이 경우 는 위 노름에 대하여 바나흐 공간을 이룬다 (증명: 완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수).

에 대하여 이며, 이므로, 이다. 즉, 은 (상한 노름에 대하여) 절대 수렴한다. 따라서 은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, 균등 수렴한다.

[편집]

다음과 같은 함수열 ()을 생각하자.

그렇다면

이므로 각 에서 최댓값 을 가진다. 이므로, 균등 수렴한다.

역사[편집]

카를 바이어슈트라스의 이름을 땄다.

각주[편집]

  1. Tao, Terence (2008). 《陶哲轩实分析》 [테렌스 타오 실해석] (중국어). 번역 王昆扬 1판. 人民邮电出版社. ISBN 978-7-115-18693-5. 

참고 문헌[편집]