망원급수

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수학에서 망원급수(영어: telescoping series)란 부분적 항들의 합이 소거 후에 결과적으로 고정된 값만이 남는 수열을 일컫는다.[1][2] 이러한 테크닉은 “차(差)의 방법”, 또는 “상쇄 합” 이 라 고 도 불린다.

예를 들어,

와 같은 급수는

으로 단순화된다.

일반적인 경우[편집]

먼저 을 수열로 정의하자. 이때,

이고, 이라면

함정[편집]

비록 상쇄 합은 유용한 테크닉이나, 잘못 사용할 경우 쉽게 함정에 빠질 수도 있다. 그란디 급수라고도 불리는 다음의 경우를 살펴보면,

는 잘못된 결론인데, 이런 오류는 각 항이 0으로 수렴하지 않는 급수를 다루었기 때문에 발생한다. 이런 오류를 미연에 방지하기 위해서는 N번째 항에 대한 합을 구한 다음에 N이 무한으로 발산할 경우를 따져 보면 된다.

다른 예시[편집]

  • 많은 삼각함수는 차로써의 표현이 인정되므로 망원급수에서 쓰이는 소거법이 연속된 항들에 적용될 수 있다.
  • 다음과 같은 형태의 합
”f”와 “g”가 다항식이고 각 항이 부분 분수로 쪼개질 수 있을 때, 상쇄 합 방법은 실패할 수도 있다. 예를 들어,
문제는 각 항이 소거, 상쇄되지 않는다는 점이다.
  • ‘’k’’를 양의 정수라 하자. 이때
Hk는 ‘’k’’번째 조화수이다. 1/(k − 1) 이후의 모든 항은 소거된다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Tom M. Apostol, Calculus, Volume 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422–3
  2. Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, Elementary Real Analysis, Second Edition, CreateSpace, 2008, page 85