렙셰츠 수

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일반위상수학에서, 렙셰츠 수(Лефшец數, 영어: Lefschetz number)는 콤팩트 공간 위의 연속 자기 함수호모토피류에 대응되는 유리수 값의 불변량이다. 렙셰츠 수가 0이 아닌 경우, 렙셰츠 고정점 정리(Лефшец固定點定理, 영어: Lefschetz fixed-point theorem)에 따르면 함수는 고정점을 갖는다.

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 에 의하여 특이 코호몰로지에 대한 군 준동형이 유도된다.

특히, 유리수 계수를 취하면, 다음과 같은 유리수 선형 변환을 얻는다.

렙셰츠 수 는 다음과 같은 대각합들의 합인 유리수이다.

성질[편집]

렙셰츠 고정점 정리에 따르면, 만약

  • 콤팩트 단체 복합체이며,
  • 이라면,

고정점을 갖는다. 즉, 가 존재한다.

그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

렙셰츠-호프 정리[편집]

만약

  • 차원 콤팩트 다양체이며,
  • 가 오직 유한 개의 고정점을 갖는다고 하자.

의 고정점들의 집합을 라고 하자. 에 대하여, 항상 다음 조건들을 만족시키는 두 근방 , 을 찾을 수 있다.

  • 차원 열린 공위상 동형이다.
  • 이다.

로 가정할 수 있다. 이 경우, 다음 함수

를 생각하자. 정의역과 공역 둘 다 초구 와 동치이므로, 호모토피류 를 정의할 수 있다. 에 임의의 방향을 주었을 때, 브라우어르 차수 를 정의할 수 있다.

렙셰츠-호프 정리(영어: Lefschetz–Hopf theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 정수임을 알 수 있다.

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만약 항등 함수라면 그 렙셰츠 수는 오일러 지표이다.

렙셰츠 정리의 역에 대한 반례[편집]

위의 항등 함수 를 생각하자. 이는 물론 연속 함수이며, 무한히 많은 고정점을 갖는다. 그러나 임의의 에 대하여 항등 함수호모토픽하지만 고정점을 갖지 않는다. 즉, 고정점을 갖는지 여부는 호모토피 불변량이 아니며, 이 호모토피류의 렙셰츠 수는 0이다.

역사[편집]

솔로몬 렙셰츠가 도입하였다.[1][2] 렙셰츠-호프 정리는 하인츠 호프가 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Lefschetz, Solomon (1926). “Intersections and transformations of complexes and manifolds”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 28 (1): 1–49. doi:10.2307/1989171. 
  2. Lefschetz, Solomon (1937). “On the fixed point formula”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 38 (4): 819–822. doi:10.2307/1968838. 

바깥 고리[편집]