소수의 역수의 합의 발산성

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기원전 3세기경에 유클리드는 무한히 많은 소수가 존재함을 증명하였다. 18세기에 레온하르트 오일러는 좀 더 강력한 정리를 증명하였다: 즉, 소수의 역수의 합이 발산한다는 것이다. 다시 말해서,

현재 다음과 같은 사실도 알려져 있다.

조화급수[편집]

먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.

오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.

여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다.


증명법[편집]

첫 번째 증명[편집]

오일러 곱셈 공식을 이용하여 약간의 논리적인 갭을 수반하는 다음의 계산이 가능하다. 먼저 테일러 전개를 통해 다음과 같이 계산한다.

마지막 등식의 는 어느 상수이다. 이로써 발산하는 속도가 에 근접함을 알 수 있다.

두 번째 증명[편집]

번째 소수를 라 쓰기로 하자. 수렴한다고 가정해서 모순을 이끌어 낸다. 만약 수렴한다면, 무한급수에서 적당히 앞부분을 잘라 나머지 부분이 1/2 보다 작게 만들 수 있다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 어떤 가 있다.

그 잘라낸 소수들을 모두 곱한 값을 라고 해 보자. 즉, 라 하면, 모든 자연수 에 대해 부터 까지 어느 소수로도 나누어 떨어지지 않는다. 따라서 의 값에 관계 없이 의 모든 소인수는 이후의 소수들이 된다.

그리하여 모든 1보다 큰 에서 다음 부등식이 성립한다.

두 번째 부등식은 가정에 의해 성립한다. 첫 번째 부등식은 의 소인수가 모두 이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 들어있게 된다. 그런데 좌변은 적분판정법으로 발산함을 알 수 있고 우변은 무한등비급수이므로 수렴한다. 따라서 모순이 된다.