1−2+3−4+…

1−2+3−4+…는 다음과 같은 식으로 표현되는 무한급수이다.

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n$

위 급수는 발산한다. 즉, 위 급수의 부분합 수열 {1, -1, 2, -2, ...}이 극한값을 가지지 않는다는 뜻이다. 실제로 이 수열이 진동하며 발산한다는 것을 쉽게 이해할 수 있다.

역설

1. $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n=S$로 두고 다음과 같은 합을 생각하자.

 S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . 
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =       + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . 
--------------------------------------------
4S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 

그러므로, $S={\frac {1}{4}}$이다.

2. 다음과 같은 식이 성립한다:

$1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}.$

이제 양변을 미분하면,

$-1+2x-3x^{2}+4x^{3}-5x^{4}+\cdots ={\frac {-1}{(1+x)^{2}}}$

이므로,

$1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}$

이다.

위 식에 $x=1$을 대입하면, 다음을 얻는다.

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

역설에 대한 해설

1. 무한급수는 일반적으로 합의 순서를 임의로 바꿀 수 없다. 이 경우, 4개의 S를 더할 때 1+(-2+1+1)+(3-2-2+1)+...처럼 합의 순서를 바꾸었다고 볼 수 있는데, 이렇게 하는 것은 안 된다.
2. 주어진 식 $\scriptstyle {1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}}$은 $|x|<1$일 때만 수렴한다. 그러므로 $x=1$을 대입하여 모순이 발생하는 것은 당연하다.