몰입 (수학)

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클라인 병의 3차원 유클리드 공간에서의 몰입. 하지만 이는 매장이 아니다.

미분기하학에서, 몰입(沒入, 영어: immersion) 또는 넣기는 두 매끄러운 다양체 사이, 정의역접공간으로부터 공역접공간에 대한 사상이 단사매끄러운 사상이다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 점 에서, 실수 선형 변환

을 정의할 수 있다. 여기서 에서의 접공간이다.

만약 단사 함수라면, 에서의 몰입이라고 한다. 만약 가 모든 에서 침몰이라면, 를 단순히 몰입이라고 한다.

(반대로, 만약 전사 함수라면 침몰이라고 한다.)

성질[편집]

함의 관계[편집]

몰입은 매끄러운 매장보다 더 약한 개념이다. 즉, 모든 매끄러운 매장은 몰입이지만 그 역은 성립하지 않는다.

즉, 두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수에 대하여 다음이 성립한다.

매끄러운 매장단사 몰입 ⊆ 몰입 ⊆ 매끄러운 함수

존재[편집]

차원 매끄러운 다양체 차원 매끄러운 다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

  • 몰입 이 존재할 필요 조건이다.
  • 몰입 이 존재할 충분 조건이다.

특히, 휘트니 몰입 정리(Whitney沒入定理, 영어: Whitney immersion theorem)에 따르면, 만약 이라면, 임의의 매끄러운 함수 은 몰입과 호모토픽하다. (만약 가정을 로 강화시킨다면, 결론을 몰입 대산 매끄러운 매장으로 강화시킬 수 있다. 이를 휘트니 매장 정리영어: Whitney embedding theorem라고 한다.)

단사성[편집]

두 매끄러운 다양체 , 사이의 몰입 이 주어졌다고 하자. 만약 연결 공간이자 콤팩트 공간이라면, 단사 함수이다.

[편집]

클라인 병은 3차원 유클리드 공간 에 몰입될 수 있지만, 매끄럽게 매장될 수는 없다. 이는 3차원에 넣은 클라인 병은 항상 겹치는 부분이 있어, 원래 클라인 병과 위상 동형이 아니기 때문이다.

매장이 아닌 단사 몰입[편집]

매장이 아닌 단사 몰입

심지어, 매끄러운 매장이 아닌 단사 몰입도 존재한다. 예를 들어, 오른쪽 그림과 같은 몰입을 생각해 보자. 이는 명백히 단사 함수지만, 이 정의역과 위상 동형이 아니므로 매끄러운 매장이 아니다.

단사 함수가 아닌 몰입[편집]

임의의 매끄러운 다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 쌍대 대각 사상

은 몰입이지만, 일 경우 단사 함수가 아니다.

1차원 유클리드 공간(실수선)의 몫

은 몰입이지만, 단사 함수가 아니다. 보다 일반적으로, 매끄러운 다양체피복 공간인 매끄러운 다양체

전사 함수인 몰입이며, 2겹 이상의 피복 공간일 경우 단사 함수가 아니다.

외부 링크[편집]