군론에서, 주어진 군의 교환자 부분군(交換子部分群, 영어: commutator subgroup)은 교환자들로 생성되는 부분군이다.
군
의 교환자 부분군
은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 부분군이다.
![{\displaystyle [g_{1},h_{1}][g_{2},h_{2}][g_{3},h_{3}]\dots [g_{n},h_{n}]\in G^{(1)}\subset G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998abc16fe6302541bdb3f44d1eb1d60520ed213)
![{\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02ec7e61a8a886452b5a434dd4dfb0bc9be160c)
여기서
![{\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87495055902ee8caee67b2645802bd3192d68c5)
는 군의 교환자이다. 교환자 부분군은 항상 정규 부분군이다.
유도열[편집]
군
의 n차 유도 부분군(n次誘導部分群, 영어: nth derived subgroup)
은 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle G^{(n+1)}=(G^{(n)})^{(1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc60bb6d919995ed81a57ce52f6647c3fd9f3786)
즉, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규 부분군들의 열이 존재한다.
![{\displaystyle G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e205ee4c4253b81177d5105bec4a470e729f71a)
이를 유도열(誘導列, 영어: derived series)이라고 한다.
유도열을 임의의 순서수에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다.
![{\displaystyle G^{(0)}=G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2be41ee48de0d9ac4fb684252f5bed66b79b20a)
- 따름 순서수
에 대하여,
![{\displaystyle G^{(\alpha +1)}=(G^{(\alpha )})^{(1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2c69b4bb911842fabda480797091701cac4b07)
- 극한 순서수
에 대하여,
![{\displaystyle G^{(\alpha )}=\bigcap _{\beta <\alpha }G^{(\beta )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902671be9ad1eab2af7e6c3a65619f7441a52700)
이를 초한 유도열(超限誘導列, 영어: transfinite derived series)이라고 한다.
유도열을 사용하여, 다양한 종류의 군들의 모임을 정의할 수 있다.
- 교환자 부분군이 자명군인 군을 아벨 군이라 한다.
- 교환자 부분군이 스스로인 군을 완전군이라고 한다.
- 어떤 자연수
에 대하여
인 군
를 가해군이라고 한다.
- 어떤 순서수
에 대하여
인 군
를 준 아벨 군(영어: hypo-Abelian group)이라고 한다.
정의에 따라
- 아벨 군 ⊊ 가해군 ⊊ 준 아벨 군
임을 알 수 있다.
아벨화[편집]
군
가 주어졌을 때, 교환자 부분군
은 그 정규 부분군이며, 이에 대한 몫군
![{\displaystyle G^{\operatorname {ab} }=G/G^{(1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f9422823c27fe6f6f98d1ccab76f421341906c)
은 아벨 군을 이룬다. 이를 아벨화(Abel化, 영어: abelianization)라고 한다. 범주론적으로 이는 군과 군 준동형의 범주
에서 아벨 군과 군 준동형의 범주
로 가는 함자를 이룬다.
![{\displaystyle (-)^{\operatorname {ab} }\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c39707e4878f0cc980a97da0e2a014b6fdd7430)
아벨 군은 군의 일종이므로, 포함 함자
![{\displaystyle I\colon \operatorname {Ab} \to \operatorname {Grp} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9555dd4d17fb2726fd1004e3af4842f68a63809c)
가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 왼쪽 수반 함자이다.
![{\displaystyle (-)^{\operatorname {ab} }\dashv I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0bd3843e06d44750d1f731ca47d3177470a8bb6)
호몰로지 대수학에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 군 호몰로지
![{\displaystyle G^{\operatorname {ab} }=\operatorname {H} _{1}(G;\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7d61ad42838efcb7a7ff11eb5826107b9618d5)
와 같다.
일부 군들의 교환자 부분군들은 다음과 같다.
G |
G(1)
|
대칭군 ![{\displaystyle S_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4) |
교대군
|
교대군 ![{\displaystyle A_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3eaac426165e199a4a745aa46bb8028fed100d) |
클라인 4원군
|
사원수군 ![{\displaystyle Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed) |
|
크기 8의 정이면체군 ![{\displaystyle \operatorname {Dih} _{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a528cf74c1089981680b5c44a25d985f786c8eb) |
|
대수적 위상수학에서, 경로 연결 공간
의 기본군
의 아벨화는 정수 계수 1차 특이 호몰로지
이다. 이는 후레비치 준동형의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 후레비치 준동형의 핵이다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]