사원수군

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사원수군을 도식화한 그림. 각 색깔은 사원수군의 어떤 원소든지 거듭하여 연산을 하면 항등원(1로 표기)이 된다는 것을 보여주고 있다. 예를 들어, 붉은색으로 표시된 부분은 i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1이라는 것을 설명한다. 또한 (-i)2 = -1, (-i)3 = i, (-i)4 = 1이라는 것도 알 수 있다.

군론에서, 사원수군(四元數群, 영어: quaternion group)은 단위 사원수 i, j, k로 생성되는 유한군이다.

정의[편집]

사원수군은 원소의 갯수가 8개인 비아벨 군이다. 사원수군은 흔히 Q로 표기되며, 다음의 원소들로 구성되어 있다.

Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

여기에서 1은 항등원을 나타내며 (-1)2 = 1이 성립한다. 또한 Q의 임의의 원소 a에 대해 (-1)a = a(-1) = -a가 성립한다. 이 외에도 원소들간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1

사원수군의 군 표(Cayley table)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1 −1 i −i j −j k −k
1 1 −1 i −i j −j k −k
−1 −1 1 −i i −j j −k k
i i −i −1 1 k −k −j j
−i −i i 1 −1 −k k j −j
j j −j −k k −1 1 i −i
−j −j j k −k 1 −1 −i i
k k −k j −j −i i −1 1
−k −k k −j j i −i 1 −1

표를 살펴보면, 이 군이 비가환군이라는 사실을 확인할 수 있다. 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 ij = -ji이다.

행렬 표현[편집]

사원수군은 GL2(C)의 부분군으로 나타낼 수 있다.[1] Q=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}의 원소들은 각각 다음 행렬에 대응된다. \ 1= \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix} \ i= \begin{pmatrix}
  i & 0 \\
  0 & -i
\end{pmatrix} \ j= \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  -1 & 0
\end{pmatrix} \ k= \begin{pmatrix}
  0 & i \\
  i & 0
\end{pmatrix}

여기에서 i허수 단위이다.

성질[편집]

자기 동형[편집]

사원수군의 중심\{\pm1\}이며, 사원수군의 교환자 부분군 역시 \{\pm1\}이다. 이에 대한 몫군(내부 자기 동형군)은 클라인 4원군 \operatorname{Cyc}(2)\times\operatorname{Cyc}(2)이다.

사원수군의 자기 동형군은 4차 군론 \operatorname{Sym}(4)이다. 외부 자기 동형군은 \operatorname{Sym}(4)/(\operatorname{Cyc}(2)\times\operatorname{Cyc}(2))\cong\operatorname{Sym}(3)이다.

부분군[편집]

사원수군의 부분군은 (자명군과 스스로를 포함하여) 총 6개가 있으며, 이들은 다음과 같다.

  • 크기 8: Q
  • 크기 4: \langle i\rangle,\langle j\rangle,\langle k\rangle\le\mathbb Q. 이들은 모두 4차 순환군 \operatorname{Cyc}(4)와 동형이다. 이에 대한 몫군은 2차 순환군이다.
  • 크기 2: \langle-1\rangle\le Q. 이는 2차 순환군과 동형이다. 이에 대한 몫군은 클라인 4원군과 동형이다.
  • 크기 1: 자명군 1

이들은 모두 정규 부분군이다. 즉, 사원수군은 데데킨트 군을 이룬다.

주석[편집]

  1. Thomas W. Hungerford. 《Algebra》. Springer-Verlag. 33쪽. 

같이 보기[편집]