허수 단위

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

허수 단위 i는 제곱해서 -1이 되는 복소수를 말한다. 즉 x^2 = -1을 만족하는 근 x 중 하나인 \sqrt{-1}i라 표기한다. i를 통해 실수 체계를 복소수 체계로 확장할 수 있다. 전자공학 등의 분야에서는 전류의 기호로 i를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 j로 표기하는 경우도 있다.

성질[편집]

  • i^{4n+1}=i
  • i^{4n+2}=-1
  • i^{4n+3}=-i
  • i^{4n}=1 (이상, n은 정수)
  • \sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)
  • \sqrt{-i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)

오일러 형태[편집]

허수단위를 e지수형태로 써서 수를 표현하는 방법이 있다. 방법은 다음과 같다.

e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta), \,

이때  \theta 는 복소수이다.

삼각함수[편집]

[편집]

 \theta = π/2 − 2πN (단,N은 정수) 를 대입하면

e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i.\,

이것에 i 제곱을 취하면

e^{i i(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,

 i^2 = -1 이므로

e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,

과 같은 식이 나온다.

실제 이 값은

i^i = e^{-\pi/2} = 0.207879576....\,

이다.