허수 단위

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복소 평면에서의 \ i. 실수는 수평선에 놓이고, 허수는 수직선 위에 위치한다.

허수 단위 i는 제곱해서 -1이 되는 복소수를 말한다. 즉 이차 방정식 x^2 + 1 = 0을 만족하는 근 x 중 하나인 \sqrt{-1}i라 표기한다. 이러한 성질을 만족하는 실수는 존재하지 않으므로 i를 통해 실수 체계를 복소수 체계로 확장할 수 있다. 이때 확장된 덧셈곱셈은 여전히 결합 법칙교환 법칙, 그리고 분배 법칙을 만족함을 알 수 있다. 복소수에서는 상수 아닌 모든 다항식이 적어도 한 개의 근을 가진다는 사실이 알려져 있다(대수적으로 닫힌 체 또는 대수학의 기본 정리 참조).

제곱해서 -1이 되는 복소수는 두 개, 즉 i-i가 있다. 따라서 영 아닌 모든 실수는 두 개의 복소수 제곱근을 갖는다. 한편 영은 한 개의 제곱근만을 갖는다.

전자공학 등의 분야에서는 전류의 기호로 i를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 j로 표기하는 경우도 있다.

정의[편집]

허수 i는 다음과 같이 제곱해서 -1이 되는 수로 정의한다.

i^{2}=-1 또는 i= \sqrt{-1}

위의 정의로부터 간단한 계산을 통하여 i-i 모두 -1의 제곱근임을 알 수 있다.

직관적으로 허수를 받아 들이기에 실수보다 어렵지만 수학의 관점에서 허수를 만드는 과정은 완벽하다. 수식을 다룰 때 i를 미지수로 여기고, i^2이 나타나면 정의를 이용하여 -1로 바꾸는 것을 통해 실수의 연산을 허수 그리고 복소수로 확장할 수 있다. i의 세제곱, 네제곱, 다섯제곱 등은 다음과 같이 바꿀 수 있다.

i^{3}=i^{2}i = (-1) i = -i
i^{4}=i^{3}i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1
i^{5}=i^{4}i = (1) i = i

또한, 임의의 영 아닌 실수처럼 다음이 성립한다.

i^{0}=i^{1-1} =  i^1 i^{-1} = i^1  \frac{1}{i} = i \frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1

복소수로서 i직교 형식으로 나타내면 0+i로 1 단위의 허수 성분을 갖고 실수 성분은 영이다. 극 형식으로 i를 나타내면 1 e^{i \pi /2}이다. 즉, 절대값(또는 크기)가 1이고 편각(또는 각)이 {\pi}/{2}이다. 복소 평면에서 i는 원점으로부터 허수 축(실수 축과 직각을 이루는)을 따라 1 단위의 위치에 있는 점이다.

i 그리고 i[편집]

이차 방정식 i^{2}=-1은 중근을 갖지 않고 서로 다른 두 근을 갖는다. 이 두 근은 동등한 자격을 가지고 각각이 서로 다른 근의 덧셈과 곱셈의 역원이다. 좀 더 정확하게 방정식의 한 근 i가 주어지면 i와는 다른 값인 -i도 근이 된다. 방정식이 i의 정의로 주어졌기 때문에 i의 정의는 모호해 보인다(정확하게는 잘 정의된 것이 아니다). 그러나, 근 중의 하나를 골라 i라 하고 다른 근을 -i라 하면 모호함이 사라진다. 이러한 이유는 -ii가 양적으로 똑같지는 않지만(두 수는 각각 서로 다른 수의 음수), -ii를 대수적으로 구별할 수 없기 때문이다. 두 허수는 제곱해서 -1이 되는 수로서 동등한 자격을 갖는다.

성질[편집]

  • i^{4n+1}=i
  • i^{4n+2}=-1
  • i^{4n+3}=-i
  • i^{4n}=1 (이상, n은 정수)
  • \sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)
  • \sqrt{-i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)

오일러 형태[편집]

허수단위를 e지수형태로 써서 수를 표현하는 방법이 있다. 방법은 다음과 같다.

e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta), \,

이때  j 는 복소수이다.

삼각함수[편집]

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 \theta = π/2 − 2πN (단,N은 정수) 를 대입하면

e^{j(\pi/2 - 2N\pi)} = j.\,

이것에 j 제곱을 취하면

e^{j j(\pi/2 - 2N\pi)} = j^j \,

 j^2 = -1 이므로

e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = j^j \,

과 같은 식이 나온다.

실제 이 값은

j^j = e^{-\pi/2} = 0.207879576....\,

이다.