허수 단위

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복소 평면에서의 . 실수는 수평선에 놓이고, 허수는 수직선 위에 위치한다.

허수 단위 는 제곱해서 -1이 되는 복소수를 말한다. 즉 이차 방정식 을 만족하는 근 중 하나인 라 표기한다. 이러한 성질을 만족하는 실수는 존재하지 않으므로 를 통해 실수 체계를 복소수 체계로 확장할 수 있다. 이때 확장된 덧셈곱셈은 여전히 결합 법칙교환 법칙, 그리고 분배 법칙을 만족함을 알 수 있다. 복소수에서는 상수 아닌 모든 다항식이 적어도 한 개의 근을 가진다는 사실이 알려져 있다(대수적으로 닫힌 체 또는 대수학의 기본 정리 참조).

제곱해서 이 되는 복소수는 두 개, 즉 가 있다. 따라서 영 아닌 모든 실수는 두 개의 복소수 제곱근을 갖는다. 한편 영은 한 개의 제곱근만을 갖는다.

전자공학 등의 분야에서는 전류의 기호로 를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 로 표기하는 경우도 있다.

정의[편집]

허수 는 다음과 같이 제곱해서 이 되는 수로 정의한다.

또는

위의 정의로부터 간단한 계산을 통하여 모두 의 제곱근임을 알 수 있다.

직관적으로 허수를 받아 들이기에 실수보다 어렵지만 수학의 관점에서 허수를 만드는 과정은 완벽하다. 수식을 다룰 때 를 미지수로 여기고, 이 나타나면 정의를 이용하여 로 바꾸는 것을 통해 실수의 연산을 허수 그리고 복소수로 확장할 수 있다. 의 세제곱, 네제곱, 다섯제곱 등은 다음과 같이 바꿀 수 있다.

또한, 임의의 영 아닌 실수처럼 다음이 성립한다.

복소수로서 직교 형식으로 나타내면 로 1 단위의 허수 성분을 갖고 실수 성분은 영이다. 극 형식으로 를 나타내면 이다. 즉, 절대값(또는 크기)가 이고 편각(또는 각)이 이다. 복소 평면에서 는 원점으로부터 허수 축(실수 축과 직각을 이루는)을 따라 단위의 위치에 있는 점이다.

i 그리고 i[편집]

이차 방정식 은 중근을 갖지 않고 서로 다른 두 근을 갖는다. 이 두 근은 동등한 자격을 가지고 각각이 서로 다른 근의 덧셈과 곱셈의 역원이다. 좀 더 정확하게 방정식의 한 근 가 주어지면 와는 다른 값인 도 근이 된다. 방정식이 의 정의로 주어졌기 때문에 의 정의는 모호해 보인다(정확하게는 잘 정의된 것이 아니다). 그러나, 근 중의 하나를 골라 라 하고 다른 근을 라 하면 모호함이 사라진다. 이러한 이유는 가 양적으로 똑같지는 않지만(두 수는 각각 서로 다른 수의 음수), 를 대수적으로 구별할 수 없기 때문이다. 두 허수는 제곱해서 이 되는 수로서 동등한 자격을 갖는다.

성질[편집]

  • (이상, n은 정수)

오일러 형태[편집]

허수단위를 e지수형태로 써서 수를 표현하는 방법이 있다. 방법은 다음과 같다.

이때 는 복소수이다.

삼각함수[편집]

[편집]

= π/2 − 2πN (단,N은 정수) 를 대입하면

이것에 j 제곱을 취하면

이므로

과 같은 식이 나온다.

실제 이 값은

이다.