드 브루인-뉴먼 상수

드 브루인-뉴먼 상수(De Bruijn–Newman constant)는 $\Lambda$ 로 표시되고 니콜라스 드 브루인(Nicolaas Govert de Bruijn)과 찰스 뉴먼(Charles M. Newman)의 이름을 따서 명명되었고, 함수 $H(\lambda ,z)$ 의 영점을 통해 정의된다. 여기서 $\lambda$는 실수인 매개 변수이고 $z$는 복소수 변수이다. $\lambda \geq \Lambda$ 인 경우에서만 $H$는 실근을 가지게 된다.

이 상수는 리만 가설과 밀접하게 관련되어있다. 단적으로, 리만 가설은 $\Lambda \leq 0$이라는 추측과 동일하다.

드 브루인(De Bruijn)은 1950년에 $\lambda \geq {1 \over 2}$이어야만 $H$가 실근을 가짐을 보였고, 또한 어떤 $\lambda$에 대해 $H$가 실근만을 가질 경우 $\lambda$보다 더 큰 임의의 실수에 대해서도 실근만을 갖는다는 것을 보여 주었다. Newman은 1976년에 $H$가 실근을 가지는 경우가 오직 $\lambda \geq \Lambda$ 일 때라는 이 명제에서의 $\Lambda$가 상수임을 증명하였고, 이는 $\Lambda$가 유일성을 가진다는 것도 증명해주었다.

뉴먼(Newman)은 $\Lambda \geq 0$ 이라고 추측함으로서, 리만 가설의 흥미로운 대응을 보여주었다.

$\Lambda$에 대한 심화된 계산은 1988년 이래로 작성되었으며 아래 테이블에서 볼 수 있듯이 지금까지 확인되고 있다.

Year	Lower bound on Λ
1988	−50
1991	−5
1990	−0.385
1994	−4.379×10^−6
1993	−5.895×10^−9
2000	−2.7×10^−9
2011	−1.1×10^−12

리만 제타 함수에서 자이 함수 $\xi$의 정의로 부터,

$\xi (iz)={1 \over 2}\left(z^{2}-{1 \over 4}\right)\pi ^{\left({{-z} \over {2-{1 \over 4}}}\right)}\Gamma \left({1 \over 2}z+{1 \over 4}\right)\zeta \left(z+{1 \over 2}\right)$

푸리에 변환에서

$H(\lambda ,z)=\Phi (t)e^{\lambda t^{2}}$

$\xi (1/2+iz)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}H(\lambda ,x)\,dx$

$H(0,x)=\xi (1/2+ix)$

$H(z,\lambda )=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}\xi (1/2+ix)\,dx$

같이 보기

• 리만 제타 함수
• 푸리에 변환
• 수학 상수