황금비

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(a+b):a = a:b
수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

황금비(黃金比) 또는 황금분할(黃金分割)은 주어진 길이를 가장 이상적으로 둘로 나누는 비로, 근사값이 약 1.618인 무리수이다. 기하학적으로 황금분할은 유클리드(원론 3, 141)가 정의했다.

정의[편집]

황금비는 어떠한 선으로 이등분하여 한쪽의 평방을 다른쪽 전체의 면적과 같도록 하는 분할이다. 즉, 선 AB위에 점 C가 있을 때 (AC)^2=BC×AB 또는 AC:CB=AB:AC가 되도록 분할하는 것이다. 이 비의 값은 \frac{\sqrt{5}+1}{2}로, 거의 1.61803398....:1 또는 1:0.61803398...이 되는데 이것을 황금비라 한다. 황금비는 고대 그리스인에 의하여 발견되었고, 이후 유럽에서 가장 조화적이며 아름다운 비례(프로포션)로 간주되었다. 근대에 이르러 르 코르뷔지에는 황금비를 피보나치(Fibonacci) 수열의 원리에서 착안하여 인체비례와 결부시켜 '모듈(황금기준척)'을 고안했다. '섹숑 도르'라는 이름을 붙인 퀴비슴의 화가그룹도 있다.

황금비 \color{Blue}\varphi(phi)선분a, b 길이로 둘로 나눌 때, 다음과 같은 값으로 정의된다.

\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi

이 때,

\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1.\qquad\qquad(*)

가 성립하고, \frac{a}{b} = \varphi.를 대입하면

\varphi^2=\varphi+1\,

라는 이차방정식이 나오고, \varphi는 이 방정식의 두 근 중 양수 근이 된다.

수학적 성질[편집]

황금비는 기하학에서 자주 등장하는 상수이다. 특히 오각형에 연관성이 크다. 예를 들어, 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비는 황금비이다.

정십이면체에서 나오는 황금비율의 표현
정이십면체에서 표현되는 황금비의 표현

또한 오각형에서 황금비가 발견되는 만큼 오각형과 관련이 있는 도형은 황금비와도 관련이 있는 경우가 많다. 예를 들어, 각 면이 정오각형으로 이루어진 정십이면체와 정십이면체의 각 면의 무게중심을 꼭짓점으로 하는 정이십면체는, 모든 꼭짓점을 한 면에 평행한 평면에 정사영시켰을 때 나오는 도형에서 바깥쪽의 꼭짓점들을 지나는 원과 안쪽의 꼭짓점들을 지나는 원의 반지름의 비는 황금비이다. 입체도형의 정사영이 가지는 성질에 비추어 볼 때, 이는 정십이면체와 정이십면체를 눈으로 볼 때 황금비과 관찰되는 것으로 해석할 수 있다.

피보나치 수는 황금비를 포함한다.

F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}} = {{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}

또한, 피보나치 수열의 두 수의 비의 극한값은 황금비이다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]

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