이차 방정식

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이차함수 의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식(二次方程式, 영어: quadratic equation)이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

와 같고, 여기서 변수, 는 각각 계수라고 하며, 는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실근 (실수인 근)과 허근 (허수인 근으로, 보통 소문자 로 표기한다.)을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다.

근의 공식[편집]

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

, 단, , , 실수이고 가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 ,
이다.

이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다:

, 단 일 경우에만 성립한다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.:

  • 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
  • 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
  • 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

근의 공식의 유도[편집]

이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.

에서, 이 아니므로 양변을 로 나눌 수 있다. 이렇게 이차항 의 계수를 없앤다.

가 얻어지고, 상수만 우변으로 이항하면


일차항 의 계수를 2로 나누고 제곱한 상수를 만들어 양변에 더해준다.



제곱근을 취하면

가 얻어진다.
이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다.
또한 판별식 일때, 즉
은 그 방정식이 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.

짝수 공식[편집]

이차 방정식에서 일차항의 계수 가 짝수인 경우 를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이[편집]

이차 방정식 을 근의 공식을 이용하여 풀어보자. 근의 공식 에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면

이다.


차 고차항 압축 정리(zipping)에 의한 근의 공식 유도[편집]

다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( 차항)의 의 계수, 로 나눈 다음 의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬수있는데 이러한 절차로 정리하는것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때, 이차 방정식은 다음의 꼴로 정리되고,

그리고

의 꼴로 정리되어서,
로 다시 정리하면 되겠다.

우선,

따라서,

에서,

여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다. 여기서는 완전제곱식은 이다.

근과 계수의 관계[편집]

근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1[편집]

의 두 근 를 각각

이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)







이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2[편집]

의 두근 을 각 라고 정의하고

을 근으로 갖는 이차방정식을 이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 (단,는 0이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)


먼저 두 번째 이차방정식인 의 계수를 나누고 전개해주면

- ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 의 계수 로 나눠주면

- ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서



같이 보기[편집]