이차 방정식

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이차함수 y = x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표x = -1x = 2x^2 - x - 2 = 0이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식(Quadratic equation)이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. x에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

 ax^2 + bx + c = 0 , \quad a \ne 0

와 같고, 여기서 x변수, ab는 각각 x^2 , x계수라고 하며, c는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실근 (실수인 근)과 허근 (허수인 근으로, 보통 소문자 i로 표기한다.)을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다.

근의 공식[편집]

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

ax^2 + bx + c = 0, 단, a, b, c실수이고 a가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 x_1, x_2
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}이다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 b^2 - 4ac를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 D로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

  • 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
  • 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
  • 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

근의 공식의 유도[편집]

ax^2+bx+c=0에서, a0이 아니므로 양변을 a로 나눌 수 있다.

\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0

그런 다음, 상수항을 우변으로 이항하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

\textstyle x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

양변을 완전제곱식 으로 만들면, \scriptstyle \frac{b}{a}x = 2xy이므로 \scriptstyle y = \frac{b}{2a}가 된다. 양변에 y^2를 더해주면,

\textstyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}

가 얻어진다. 여기에서 x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2이므로, 좌변은 \scriptstyle \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2으로 인수분해된다. 양변을 정리하면

\textstyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}

가 얻어지고, 제곱근을 취하면

\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}
x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}

가 얻어진다.

짝수 공식[편집]

이차 방정식에서 일차항의 계수  b 가 짝수인 경우 \scriptstyle b' = \frac{b}{2} 를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

x = \frac{-b' \pm \sqrt {b'^2-ac\ }}{a}

근과 계수의 관계[편집]

근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1[편집]

ax^2+bx+c=0의 두 근 \alpha, \beta를 각각

\alpha=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}

\beta=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

  • \alpha + \beta = \frac {-b-b+\sqrt {b^2-4ac\ }-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}

\alpha + \beta = \frac {-2b}{2a}


\therefore \alpha + \beta =-\frac {b}{a}


  • \alpha \beta =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2}

\alpha \beta =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2}

\alpha \beta =\frac {4ac}{4a^2}

\therefore \alpha \beta =\frac {c}{a}


  • \left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }+b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right|

\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {2\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right|

\therefore \left| \alpha - \beta \right| = \frac {\sqrt{b^2-4ac\ }}{\left| a \right|}

이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2[편집]

ax^2+bx+c=0의 두근 을 각 \alpha, \beta라고 정의하고

\alpha, \beta을 근으로 갖는 이차방정식을 (x-\alpha)(x-\beta)=0이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 a(단,a는 0이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

ax^2+bx+c=0 \iff a(x-\alpha)(x-\beta)=0

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)


먼저 두 번째 이차방정식인 a(x- \alpha)(x- \beta)=0의 계수를 나누고 전개해주면

x^2+(- \alpha - \beta)x+\alpha \beta - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 ax^2+bx+c=0 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 ax^2의 계수 a로 나눠주면

x^2+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0 - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

-\alpha - \beta=\frac {b}{a}, -(\alpha + \beta)=\frac {b}{a}

\therefore \alpha + \beta = -\frac {b}{a}

\therefore \alpha \beta = \frac {c}{a}

같이 보기[편집]