이차함수 
의 그래프.
x축과 그래프가 만나는 점의
x좌표인

과

는

이라는 이차방정식의 해가 된다.
이차방정식(二次方程式, 영어: quadratic equation)은 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식이다.
에 관한 이차 방정식의 일반적인 형태는

와 같고, 여기서
는 변수,
와
는 각각
의 계수라고 하며,
는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 인수분해를 이용해 풀이한다. 여기에서
에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다.
복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실수인 근 실근과 허수인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다.
이차 방정식의 근의 공식[편집]
다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.
, 단,
,
,
는 실수이고
일 때, 이 방정식의 두 해
,
는
이다.
이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.
, 단
일 경우에만 성립한다.[1]
여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉
를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로
로 나타낸다.
판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.
- 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
- 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
- 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.
따라서, 제곱근 기호
안의 수, 즉
는 이 이차방정식의 판별식이 된다.
제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은
가 살아있는
개의 값이 되고, 루트의 내부가
이면 루트는 없어짐으로
개의 중복된 실수근을 갖게되고,
루트 내부에 음수가 존재하면 허수
의
가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.
또한, 루트의 내부가
이면 루트는 없어짐으로
개의 중복된 실수근을 갖게 될때는,

따라서, 축의 방정식은 이와같이 유도되고,
따라서, 이차함수의 꼭지점과 대칭 축은
가 된다.
근의 공식의 유도[편집]
이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.
에서,
는
이 아니므로 양변을
로 나눌 수 있다.
이렇게 이차항
의 계수를
로 만든다.

가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면

일차항
의 계수를
로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다.


제곱근을 취하면

(단,
)
가 얻어진다.
이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식
가
일때, 즉
은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.
짝수 공식[편집]
이차 방정식에서 일차항의 계수
가 짝수인 경우
를 대입하면,
위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이[편집]
이차 방정식
을 근의 공식을 이용하여 풀어보자.
근의 공식
에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면

이다.
차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한 근의 공식 유도[편집]
다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항(
차항)의
의 계수,
로 나눈 다음
의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬수있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,
이차 방정식
은 다음의 꼴로 정리되고,

그리고
의 꼴로 정리해서,
로 다시 정리하면 되겠다.
따라서,


우선,

따라서,











에서,



여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.
여기서는 완전제곱식은
이다.
이러한
값은 이차함수의 꼭지점인 축의 값과 관계있다.
근과 계수의 관계[편집]
근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1[편집]
의 두 근
를 각각
이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)





단, a는 0이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기에 따르면 분모가 0일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)
이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2[편집]
의 두근 을 각
라고 정의하고
을 근으로 갖는 이차방정식을
이라 한 후
이 이차방정식 앞에 계수
(단,
는
이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)
(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)
먼저 두 번째 이차방정식인
의 계수를 나누고 전개해주면
- ⓐ
또한, 첫 번째 이차방정식인
또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로
최고차항
의 계수
로 나눠주면
- ⓑ
ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미에 의해 공식이 구해졌다.
같이 보기[편집]
- ↑ 물론, 이차방정식이므로
도 만족해야 한다.