이차 방정식

이차함수 $y=x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)$의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표인 $x=-1$과 $x=2$는 $x^{2}-x-2=0$이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차방정식(二次方程式, 영어: quadratic equation)은 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식이다. $x$에 관한 이차 방정식의 일반적인 형태는

$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0$

와 같고, 여기서 $x$는 변수, $a$와 $b$는 각각 $x^{2},x$의 계수라고 하며, $c$는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 인수분해를 이용해 풀이한다. 여기에서 $ax^{2}$에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실수인 근 실근과 허수인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다.

이차 방정식의 근의 공식

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

$ax^{2}+bx+c=0$, 단, $a$, $b$, $c$는 실수이고 $a\neq 0$일 때, 이 방정식의 두 해 $x_{1}$, $x_{2}$는

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$이다.

이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.

$x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}$, 단 $c\neq 0$일 경우에만 성립한다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 $b^{2}-4ac$를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 $D$로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

• 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
• 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
• 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

따라서, 제곱근 기호 ${\sqrt {\;\;}}$안의 수, 즉 $b^{2}-4ac$는 이 이차방정식의 판별식이 된다. 제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은 $\pm {\sqrt {\;\;}}$가 살아있는 $2$개의 값이 되고, 루트의 내부가 $0$이면 루트는 없어짐으로 $1$개의 중복된 실수근을 갖게되고, 루트 내부에 음수가 존재하면 허수 ${\sqrt {-1\;}}$의 $i$가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.

또한, 루트의 내부가 $0$이면 루트는 없어짐으로 $1$개의 중복된 실수근을 갖게 될때는,

${{{-b}{\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}} \over {2a}}={{{-b}{\cancel {\pm {\sqrt {0}}}}} \over {2a}}={{-b} \over {2a}}$

따라서, 축의 방정식은 이와같이 유도되고, 따라서, 이차함수의 꼭지점과 대칭 축은 ${{-b} \over {2a}}$ 가 된다.

근의 공식의 유도

이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.

$ax^{2}+bx+c=0$에서, $a$는 $0$이 아니므로 양변을 $a$로 나눌 수 있다. 이렇게 이차항 $x^{2}$의 계수를 $1$로 만든다.

$\textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면

$\textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$

일차항 $x$의 계수를 $2$로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다.

$\textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

$\left(\textstyle x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={-{4a^{2}c}+{ab^{2}} \over {4a^{3}}}={-{4ac}+{b^{2}} \over {4a^{2}}}$

제곱근을 취하면

$\ x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ (단, $a\neq 0$)

가 얻어진다.

이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식 $D=b^{2}-4ac$가 $0$일때, 즉
$b^{2}-4ac=0$ 은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.

$D=\left({b \over a}\right)^{2}-4\left({b \over 2a}\right)^{2}=0$

짝수 공식

이차 방정식에서 일차항의 계수 $b$가 짝수인 경우 $\scriptstyle b'={\frac {b}{2}}$를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

$x={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac\ }}}{a}}$

근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이

이차 방정식 $x^{2}+x-1=0$ 을 근의 공식을 이용하여 풀어보자. 근의 공식 $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ 에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면
$x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}+4\ }}}{2}}$
$x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {5\ }}}{2}}$이다.

차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한 근의 공식 유도

다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( $n$차항)의 $x$의 계수, $a$로 나눈 다음 $\textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}$의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬수있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,

이차 방정식

$ax^{2}+bx+c=0$은 다음의 꼴로 정리되고,

$x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0$

그리고

$y^{2}+p=0$의 꼴로 정리해서,

$x=y-{b \over \mathbf {n} a}$로 다시 정리하면 되겠다.

따라서,

$x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x=y-{b \over \mathbf {2} a}$

$\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0$

우선, $\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}=\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)=\left(y^{2}-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)$

$=\left(y^{2}-2{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)=\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)$

따라서,

$\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0$

$\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b \over a}{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0$

$\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}\right)+{c \over a}=0$

$y^{2}{\cancel {-{b \over a}y}}+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}{\cancel {+{b \over a}y}}-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}+{c \over a}=0$

$y^{2}+\left({1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}-{1 \over 2}\left({b \over a}\right)^{2}\right)+{c \over a}=0$

$y^{2}-{1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}+{c \over a}=0$

$y^{2}-\left({b^{2} \over 4a^{2}}\right)+{c \over a}=0$

$y^{2}={b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}$

$y^{2}={{ab^{2}-4a^{2}c} \over 4a^{3}}={{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}$

${\sqrt {y^{2}}}=\pm {\sqrt {{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}}$

$y={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}$

$x=y-{b \over \mathbf {n} a}$에서,

$x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}-{b \over 2a}$

$x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b \over 2a}$

$x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}$

여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다. 여기서는 완전제곱식은 $y^{2}$이다.

이러한 ${b \over \mathbf {n} a}$ 값은 이차함수의 꼭지점인 축의 값과 관계있다.

근과 계수의 관계

 근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.

근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1

$ax^{2}+bx+c=0$의 두 근 $\alpha ,\beta$를 각각

$\alpha ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

$\beta ={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

• $\alpha +\beta ={\frac {-b-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

$\alpha +\beta ={\frac {-2b}{2a}}$

$\therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}$

• $\alpha \beta ={\frac {b^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac\ }})^{2}}{(2a)^{2}}}$

$\alpha \beta ={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}$

$\alpha \beta ={\frac {4ac}{4a^{2}}}$

$\therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}}$

• $\left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}+b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|$

$\left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {2{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|$

$\therefore \left|\alpha -\beta \right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{\left|a\right|}}$

단, a는 0이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기에 따르면 분모가 0일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)

이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2

$ax^{2}+bx+c=0$의 두근 을 각 $\alpha ,\beta$라고 정의하고

$\alpha ,\beta$을 근으로 갖는 이차방정식을 $(x-\alpha )(x-\beta )=0$이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 $a$(단,$a$는 $0$이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

$ax^{2}+bx+c=0\iff a(x-\alpha )(x-\beta )=0$

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)

먼저 두 번째 이차방정식인 $a(x-\alpha )(x-\beta )=0$의 계수를 나누고 전개해주면

$x^{2}+(-\alpha -\beta )x+\alpha \beta$ - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 $ax^{2}+bx+c=0$ 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 $ax^{2}$의 계수 $a$로 나눠주면

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

$-\alpha -\beta ={\frac {b}{a}},-(\alpha +\beta )={\frac {b}{a}}$

$\therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}$

$\therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}}$

참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미에 의해 공식이 구해졌다.

같이 보기

• 일차 방정식
• 삼차 방정식
• 사차 방정식
• 오차 방정식
• 육차 방정식
• 칠차 방정식
• 방정식
• 비에트 정리
• 일차 함수
• 이차 함수
• 황금비