이차 방정식

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이차함수 '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표인 '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'과 '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'는 '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식(二次方程式, 영어: quadratic equation)이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"'에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

'"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"'

와 같고, 여기서 '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"'는 변수, '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'와 '"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"'는 각각 '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"'의 계수라고 하며, '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실근 (실수인 근)과 허근 (허수인 근으로, 보통 소문자 '"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"'로 표기한다.)을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다.

근의 공식[편집]

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

'"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"', 단, '"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"'는 실수이고 '"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"'가 '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"'는
'"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"'이다.

이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.

'"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"', 단 '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"'일 경우에만 성립한다.[1]

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"'를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"'로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

  • 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
  • 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
  • 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

따라서, 제곱근 기호 '"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"'안의 수, 즉 '"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"'는 이 이차방정식의 판별식이 된다. 제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은 '"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"'가 살아있는 '"`UNIQ--postMath-0000001D-QINU`"'개의 값이 되고, 루트의 내부가 '"`UNIQ--postMath-0000001E-QINU`"'이면 루트는 없어짐으로 '"`UNIQ--postMath-0000001F-QINU`"'개의 중복된 실수근을 갖게되고, 루트 내부에 음수가 존재하면 허수 '"`UNIQ--postMath-00000020-QINU`"'의 '"`UNIQ--postMath-00000021-QINU`"'가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.

또한, 루트의 내부가 '"`UNIQ--postMath-00000022-QINU`"'이면 루트는 없어짐으로 '"`UNIQ--postMath-00000023-QINU`"'개의 중복된 실수근을 갖게될때는,

'"`UNIQ--postMath-00000024-QINU`"'

따라서, 의 방정식은 이와같이 유도되어지고, 따라서, 이차함수꼭지점대칭 축은 '"`UNIQ--postMath-00000025-QINU`"' 가 되어진다.

근의 공식의 유도[편집]

이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.

'"`UNIQ--postMath-00000026-QINU`"'에서, '"`UNIQ--postMath-00000027-QINU`"'는 '"`UNIQ--postMath-00000028-QINU`"'이 아니므로 양변을 '"`UNIQ--postMath-00000029-QINU`"'로 나눌 수 있다. 이렇게 이차항 '"`UNIQ--postMath-0000002A-QINU`"'의 계수를 '"`UNIQ--postMath-0000002B-QINU`"'로 만든다.

'"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"'

가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면

'"`UNIQ--postMath-0000002D-QINU`"'

일차항 '"`UNIQ--postMath-0000002E-QINU`"'의 계수를 '"`UNIQ--postMath-0000002F-QINU`"'로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다.

'"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"'

제곱근을 취하면

'"`UNIQ--postMath-00000032-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000033-QINU`"' (단, '"`UNIQ--postMath-00000034-QINU`"')

가 얻어진다.


이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다.
또한 판별식 '"`UNIQ--postMath-00000035-QINU`"'가 '"`UNIQ--postMath-00000036-QINU`"'일때, 즉
'"`UNIQ--postMath-00000037-QINU`"' 은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.

'"`UNIQ--postMath-00000038-QINU`"'

짝수 공식[편집]

이차 방정식에서 일차항의 계수 '"`UNIQ--postMath-00000039-QINU`"'가 짝수인 경우 '"`UNIQ--postMath-0000003A-QINU`"' 를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

'"`UNIQ--postMath-0000003B-QINU`"'
근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이[편집]

이차 방정식 '"`UNIQ--postMath-0000003C-QINU`"' 을 근의 공식을 이용하여 풀어보자. 근의 공식 '"`UNIQ--postMath-0000003D-QINU`"' 에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면
'"`UNIQ--postMath-0000003E-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-0000003F-QINU`"' 이다.


차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한 근의 공식 유도[편집]

다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( '"`UNIQ--postMath-00000040-QINU`"'차항)의 '"`UNIQ--postMath-00000041-QINU`"'의 계수, '"`UNIQ--postMath-00000042-QINU`"'로 나눈 다음 '"`UNIQ--postMath-00000043-QINU`"'의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬수있는데 이러한 절차로 정리하는것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,

이차 방정식

'"`UNIQ--postMath-00000044-QINU`"'은 다음의 꼴로 정리되고,
'"`UNIQ--postMath-00000045-QINU`"'

그리고

'"`UNIQ--postMath-00000046-QINU`"'의 꼴로 정리되어서,
'"`UNIQ--postMath-00000047-QINU`"'로 다시 정리하면 되겠다.

따라서,

'"`UNIQ--postMath-00000048-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000049-QINU`"'

우선, '"`UNIQ--postMath-0000004A-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-0000004B-QINU`"'

따라서,

'"`UNIQ--postMath-0000004C-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-0000004D-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-0000004E-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-0000004F-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000050-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000051-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000052-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000053-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000054-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000055-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000056-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000057-QINU`"'에서,
'"`UNIQ--postMath-00000058-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-00000059-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-0000005A-QINU`"'

여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다. 여기서는 완전제곱식은 '"`UNIQ--postMath-0000005B-QINU`"'이다.

이러한 '"`UNIQ--postMath-0000005C-QINU`"'을 위한 값 '"`UNIQ--postMath-0000005D-QINU`"'는 이차함수의 꼭지점인 의 값과 관계있다.

근과 계수의 관계[편집]

근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1[편집]

'"`UNIQ--postMath-0000005E-QINU`"'의 두 근 '"`UNIQ--postMath-0000005F-QINU`"'를 각각

'"`UNIQ--postMath-00000060-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-00000061-QINU`"'이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

  • '"`UNIQ--postMath-00000062-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-00000063-QINU`"'


'"`UNIQ--postMath-00000064-QINU`"'


  • '"`UNIQ--postMath-00000065-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-00000066-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-00000067-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-00000068-QINU`"'


  • '"`UNIQ--postMath-00000069-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-0000006A-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-0000006B-QINU`"'

이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2[편집]

'"`UNIQ--postMath-0000006C-QINU`"'의 두근 을 각 '"`UNIQ--postMath-0000006D-QINU`"'라고 정의하고

'"`UNIQ--postMath-0000006E-QINU`"'을 근으로 갖는 이차방정식을 '"`UNIQ--postMath-0000006F-QINU`"'이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 '"`UNIQ--postMath-00000070-QINU`"'(단,'"`UNIQ--postMath-00000071-QINU`"'는 '"`UNIQ--postMath-00000072-QINU`"'이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

'"`UNIQ--postMath-00000073-QINU`"'

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)


먼저 두 번째 이차방정식인 '"`UNIQ--postMath-00000074-QINU`"'의 계수를 나누고 전개해주면

'"`UNIQ--postMath-00000075-QINU`"' - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 '"`UNIQ--postMath-00000076-QINU`"' 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 '"`UNIQ--postMath-00000077-QINU`"'의 계수 '"`UNIQ--postMath-00000078-QINU`"'로 나눠주면

'"`UNIQ--postMath-00000079-QINU`"' - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

'"`UNIQ--postMath-0000007A-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-0000007B-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-0000007C-QINU`"'

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 물론, 이차방정식이므로 도 만족해야한다.