비에트 정리

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대수학에서, 비에트 정리(영어: Viète's theorem) 또는 근과 계수의 관계다항 방정식에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다.

정의[편집]

음이 아닌 정수 , 에 대하여, 변수 기본 대칭 다항식이라고 하자.

음이 아닌 정수 에 대하여, 복소수 다항식

이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면) 개의 영점 를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 다음 개의 등식이 성립한다.

증명[편집]

다음 등식 양끝의 다항식의 계수를 비교하여 얻는다.

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일차 방정식[편집]

(일차항 계수가 0이 아닌) 일차 방정식

은 다음과 같은 유일한 해를 갖는다.

이 경우 비에트 정리는 위 등식과 같다.

이차 방정식[편집]

(이차항 계수가 0이 아닌) 이차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

삼차 방정식[편집]

(삼차항 계수가 0이 아닌) 삼차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

사차 방정식[편집]

(사차항 계수가 0이 아닌) 사차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

역사[편집]

프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다.[1] 알베르 지라르(프랑스어: Albert Girard)가 일반적인 경우를 증명하였다.[2]

각주[편집]

  1. Viète, François (1646). van Schooten, Frans, 편집. 《Opera mathematica》 (라틴어). Leiden: Ex Officinâ Bonaventurae & Abrahami Elzeviriorum. 
  2. Girard, Albert (1884). Bierens de Haan, David, 편집. 《Invention nouvelle en l'algèbre》 (프랑스어). Leiden: Imprimé chez Muré frères. 

외부 링크[편집]