대수학에서 비에트 정리(영어: Viète’s theorem) 또는 근과 계수와의 관계는 다항 방정식의 근에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다.
음이 아닌 정수
에 대하여,
차 복소수 다항식
![{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in \mathbb {C} [x]\qquad (a_{i}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55119f79f34345e648d286560db08eb1197f1f0)
이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면)
개의 영점
를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 각
에 대하여, 영점
을
차 기본 대칭 다항식에 대입한 값은
과 같다.

즉, 다음
개의 등식이 성립한다.





다음 등식 양끝의 다항식의 각
의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻는다.

일차 방정식[편집]
(일차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 일차 방정식

은 유일한 복소수 해

를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다.
이차 방정식[편집]
(이차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 이차 방정식

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을
라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.


삼차 방정식[편집]
(삼차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 삼차 방정식

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을
이라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.



사차 방정식[편집]
(사차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 사차 방정식

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을
라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.




프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다.[1] 알베르 지라르(프랑스어: Albert Girard)가 일반적인 경우를 증명하였다.[2]
외부 링크[편집]