기본 대칭 다항식

가환대수학에서, 기본 대칭 다항식(基本對稱多項式, 영어: elementary symmetric polynomial)은 주어진 차수에 대하여, 이 차수의 모든 가능한 항들을 (계수 1로서) 정확히 하나씩 포함하는 다변수 대칭 다항식이다. 모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식들로 유일하게 구성된다.

정의

차수 $k\in \mathbb {N}$에 대하여, $n$개의 변수 $x_{1},\dotsc ,x_{n}$에 대한 $k$차 기본 대칭 다항식은 다음과 같은 대칭 다항식이다.

$e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{k}}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]$

특히, $k>n$이라면 $e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=0$이다. 즉, 0이 아닌 기본 대칭 다항식은 $e_{0},\dotsc ,e_{n}$이다. (항상 $e_{0}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=1$이다.)

성질

임의의 가환환 $K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $n$개의 변수에 대한 대칭 다항식의 가환환

$K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}=\{p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\colon \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (n)\colon p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=p(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\}$

을 정의할 수 있다. 이 경우, 기본 대칭 다항식을 통한 환 준동형

$K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]\to K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}$

$y_{i}\mapsto e_{i}(x_{1},\dotsc ,x_{n})$

을 생각할 수 있다. 이 환 준동형은 항상 가환환의 동형 사상이다.

다시 말해, 임의의 대칭 다항식

$p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}$

에 대하여,

$p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=q(e_{1}(x_{1},\dotsc ,x_{n}),\dotsc ,e_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n}))$

이 되는 다항식 $q\in K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]$이 유일하게 존재한다.

예

낮은 값의 $n$에 대한 기본 대칭 다항식은 다음과 같다.

$n=1$

$e_{0}(x)=1$

$e_{1}(x)=x$

$n=2$

$e_{0}(x,y)=1$

$e_{1}(x,y)=x+y$

$e_{2}(x,y)=xy$

$n=3$

$e_{0}(x)=1$

$e_{1}(x,y,z)=x+y+z$

$e_{2}(x,y,z)=xy+yz+xz$

$e_{3}(x,y,z)=xyz$

$n=4$

$e_{0}(x,y,z,w)=1$

$e_{1}(x,y,z,w)=x+y+z+w$

$e_{2}(x,y,z,w)=xy+yz+zw+wx+xz+yw$

$e_{3}(x,y,z,w)=xyz+yzw+zwx+wxy$

$e_{4}(x,y,z,w)=xyzw$

같이 보기

• 대칭 다항식
• 뉴턴 항등식
• 뉴턴의 부등식
• 매클로린의 부등식
• 대칭 함수
• 표현론 (수학)

참고 문헌

• Macdonald, I. G. (1995). 《Symmetric functions and Hall polynomials》 (영어) 2판. Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0. 

외부 링크

• “Elementary symmetric polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Elementary symmetric polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Elementary symmetric polynomial”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)”. 《수학노트》. 
• “Elementary symmetric polynomial”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Elementary symmetric polynomial”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of fundamental theorem of symmetric polynomials”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Elementary symmetric polynomial”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Fundamental theorem of symmetric polynomials”. 《ProofWiki》 (영어).