사차 방정식

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4차함수의 그래프

사차 방정식이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

와 같다. 여기에서 는 각각 계수라고 한다. 상수항이라고 부른다.

역사[편집]

페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다.

해법[편집]

이 방정식에서 양변을 의 최고차항인 로 나눈 다음 라고 두면 꼴로 정리할 수 있다.

에서 양변에 나중에 결정될 적절한 값 를 취해서 을 더하면

.

이 된다. 이 우변이 완전제곱식이 되면, 사차방정식은 두 개의 이차방정식으로 분해된다. 그러므로 우변의 이차식은 판별식

의 값이 0이 되어야 한다. 이것은 에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 의 값을 알아낸다. 그리하여 주어진 사차방정식은

의 형태가 된다. 따라서 두 이차방정식 을 풀어서 네 개의 해를 구한다.

특수한 경우[편집]

복이차방정식[편집]

사차 방정식 중 짝수 차수만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다. 으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.

상반방정식[편집]

계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 상반방정식(Symmetric equations)이라고 한다. 사차방정식의 경우는 다음과 같다.

이 경우 양변을 으로 나누어 를 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.

좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)

의 경우 으로 치환해주면 된다.

근과 계수의 관계[편집]

사차방정식 의 네 근을 라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다.

같이 보기[편집]