사차 방정식

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4차함수의 그래프

사차 방정식(Quartic equation)이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

와 같다. 여기에서 는 각각 계수라고 한다. 상수항이라고 부른다.

역사[편집]

페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다.

해법[편집]

이 방정식에서 양변을 의 최고차항인 로 나눈 다음 라고 두면 꼴로 차 고차항을 치른하우스 변형으로 압축 정리(zipping)할 수 있다.

한편, 의 완전제곱식을 풀면, 이 되므로

의 나머지인를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 만든다.
이 된다.

이번에는 우변에 미지수 를 제공하고 에 대해 정리하면,

우변 이차방정식판별식, 이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다.

이것은 에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 의 3근 를 구한다음 을 대입한다.

에의해
이므로,
이다.

이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다.

이렇게, 사차방정식은 두 개의 완전제곱식이차방정식으로 분해된다.

양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면,

근의 공식으로부터

그리고, , 이므로

4근은,


이다.

일반적인 경우[편집]

양변을 의 최고차항인 로 나눈 다음 라고 두고 형태로 정리한다.


여기서, , 치환


전개하면,


여기서, , 치환 한것을

, 풀어주면


근과 계수의 관계에서,

를 대입하면,

따라서, z로 3차방정식을 가정하여 정리하면,

이것의 3차방정식을 풀면 근은 각 각 이고,

다시 이것의 제곱근 가 서로 곱해서,

가 되는 값이 각각 근의가 되고,

이어서,
가 되고,

이것으로가 되겠다.

끝으로 정리하면, 4차방정식의 네근 에의해 ,
가 되겠다.

특수한 경우[편집]

복이차방정식[편집]

사차 방정식 중 짝수 차수만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다. 으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.

상반방정식[편집]

계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 상반방정식(Symmetric equations)이라고 한다. 사차방정식의 경우는 다음과 같다.


이 경우 양변을 으로 나누어 를 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.




이차방정식 근의 공식으로부터,
, 이고
, 이므로


,

,

,


따라서, 역시 근의 공식을 적용하면,
이므로, 여기에 를 대입하여 정리하면,

의 4근을 갖는다.


좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)

의 경우 으로 치환해주면 된다.

이항방정식[편집]

의 꼴이다.

특히 의 경우는, 근의 계수 를 교착해서 4개의 근이 구해진다.


인수분해 (곱셈공식 적용)[편집]

로 예약했을때,

꼴로 인수분해와 2차방정식으로 풀수있다.

근과 계수의 관계[편집]

사차방정식 의 네 근을 라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다.

이것은 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수와의 관계증명을 사용하면, 대수학의 기본정리에따라 차방정식은 개의 근을 갖고, 따라서, 개의 근 를 예정하고, 이를 차방정식의 인수분해식으로 놓으면, 이 되고, 다항식으로 전개하면,

이므로, 서로 근의 정보와 계수 정보와의 상관관계를 보여주고 있다.

4차 방정식의 판별식[편집]

4차 방정식의 판별식은 16개항으로 이루어져 있다.

실베스터 행렬종결식을 사용한 소행렬식라플라스 전개로 4차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬


같이 보기[편집]